Encadrements de nombres

Savez-vous encadrer un nombre ? Eh bien je vous l'apprend dans ce cours sur l'encadrements de nombres avec des propriétés et des exemples simples.

Toutes les propriétés de comparaison vont nous aider pour établir celles d'encadrement.

Mais c'est quoi un encadrement ?

Définition

Encadrer un nombre x, c'est trouver deux nombres a et b tels que a < x < b.

Ah d'accord. Et comment on encadre un nombre ?

Propriétés

Soient a, a', b, b', x, x' des nombres réels.

Pour encadrer une somme de deux réels, on additionnera les bornes de leurs encadrement :
Si a < x < b et a' < x' < b', alors a + a' < x + x' < b + b'

Pour encadrer une différence de deux réels, on ramènera le problème au cas de l'addition :
Si a < x < b et a' < x' < b', alors -b' < -x' < -a' (on a multiplier par (-1) la seconde inégalité en changeant les signes),
et donc a - b' < x - x' < b - a'

Pour encadrer un produit de réels, on multipliera les bornes de l'encadrement si et seulement si les nombres sont positifs :
Si 0 < a < x < b et 0 < a' < x' < b', alors 0 < aa' < xx' < bb'

Pour encadrer l'inverse d'un réels, on inversera les bornes de l'encadrement si et seulement si les bornes sont de même signe :
Si 0 < a < x < b, alors

Faites bien attention à ce qui est en gras et souligné. C'est la cause principale d'erreur.

Remarque

Il peut arriver que les bornes ne soient pas de même signes. Dans ce cas là, il faudra distinguer les cas.

Exemples

Sachant que encadrer des nombres

et que

, on peut en déduire que :
encadrement en seconde