Une nouvelle notion de terminale S, celle d'intégrales. Dans ce cours, je vais vous définir ce qu'est une intégrale et vous donner une convention ainsi que la formule de la valeur moyenne d'une fonction.
1 - Intégrale
Voici la définition.
Définition
Intégrale
Soit f une fonction continue et positive. On considère la courbe
de f dans un repère.
On appelle intégrale de a à b de f, l'aire du domaine situé sous la courbe, entre les droites d'équations x = a et x = b et l'axe des abscisses.
On la note :
Cette aire est exprimée en unité d'aire.
Les nombres a et b sont les bornes de l'intégrale.
Le dx de l'intégrale signifie que la fonction est de variable x. Nous allons y revenir un peu plus tard.
En fait, c'est l'aire sous la courbe entre a et b et l'axe des abscisses, l'aire hachurée.
2 - Convention d'intégrales
Petite convention sur les intégrales à savoir.
Convention
Aire algébrique
Si f est continue et négative sur [a; b], alors l'intégrale de a à b est égale à l'aire du domaine situé sous la courbe, entre les droites d'équations x = a et x = b et l'axe des abscisses, auquel on affecte un signe moins. On parlera alors d'aire algébrique.Soit f une fonction continue sur [a; b], alors l'intégrale de a à b est égale à la somme des aires algébriques définies sur les intervalles où f(x) garde un signe constant.
Je vais vous expliquer car ça paraît difficile à comprendre alors que c'est très simple.
Prenons un exemple.
Exemple
La fonction est périodique de période 2π, ça veut dire qu'elle se répète indéfiniment tous les 2π.
Regardez bien cette fonction.
On remarque bien que la fonction sur l'intervalle [-π ; 0] est égale à la fonction sur l'intervalle [0; π] à un signe moins près.
Si nous calculons l'aire sous cette courbe sur l'intervalle [-π ; π], ça donnera ceci sur le graphique :
Les deux parties hachurées sont égales, oui, mais à un signe moins près.
Donc l'intégrale sera nulle.
C'est ce que veut dire cette convention. On parle d'aire algébrique et non pas d'aire géométrique.
Une intégrale, même si elle représente une aire, peut être nulle.
3 - Valeur moyenne d'une fonction
Je vais vous apprendre à calculer la valeur moyenne d'une fonction. C'est comme pour des statistiques, mais avec des fonctions.
Définition
Valeur moyenne d'une fonction
Soit f une fonction continue, définie sur un intervalle [a; b].La valeur moyenne de la fonction f sur [a; b] est égale à :
Pour l'instant je ne peux pas vous donner de vrai exemple vu que l'on a pas encore appris à calculer une intégrale.
Vous saurez le faire les yeux fermés bientôt.
Quelques exercices sur Définitions des intégrales :