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Propriétés de la fonction logarithme

Cours de maths terminale S

Découvrez, dans ce cours de maths, toutes les propriétés de la fonction logarithme népérien, dont sa dérivée et ses propriétés fondamentales. Ces propriétés sont primordiales. Vous devez absolument les connaître par coeur.

La fonction logarithme népérien pourrait aussi se définir ainsi : c'est la fonction vérifiant :

f(xy) = f(x) + f(y)


C'est la propriété fondamentale de cette fonction. Voici les autres.

Propriétés

Propriétés de la fonction logarithme

 Voici un grand nombre de propriétés sur cette fonction logarithme.
  • ln(1) = 0 et ln(e) = 1.

  • ln x est négatif sur ]0; 1] et positif sur [1; +∞[.

  • Pour tout x, y ∈ ensemble des réels,

    ln x = ln y ⇔ x = y

    ln x > ln y ⇔ x > y

  • La fonction logarithme est dérivable, donc continue, et strictement croissante sur ]0; +∞[.

  • Pour tout x > 0,

    propriétés de la fonction logarithme


  • Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur I, alors :

    propriété logarithme


  • Pour tout x, y > 0,

    propriétés fondamentales du logarithme


  • Pour tout a réel strictement positif et tout nombre rationnel r :

    ln ar = r ln a

Ces propriétés sont primordiales. Vous devez absolument les connaître sur le bout des doigts.

Je veux juste insister sur une chose en particulier.
Retenez ceci : la fonction logarithme népérien ne "mange" que du positif. Qu'es-ce que cela veut dire ?
En fait, le x du ln x doit toujours être strictement positif. Le résultat peut lui par contre être négatif.


Quelques exercices sur Propriétés de la fonction logarithme :