Définitions des nombres complexes

1 - Ensemble des nombres complexes

Vous vous demandez sûrement pourquoi on a inventé encore un autre ensemble ? Je vais vous répondre en vous donnant la définition suivante.

Définition

Ensemble des nombres complexes

On appelle ensemble des nombres complexes, que l'on note , l'ensemble dont tous les éléments s'écrit de manière unique z = a + ib, avec a,b ∈ et i un élément tel que i² = -1.

Le réel a est appelé partie réelle de z, notée Re(z) et le réel b est la partie imaginaire de z, notée Im(z).
Si a = 0, alors z est dit imaginaire pur.

Donc, nous avons un nombre z qui est égal à a + ib. Comprenez bien que seuls a et b sont des réels. i est un élément qui, élevé au carré, donne -1.
Le coefficient de i est la partie imaginaire du nombre complexe z et le terme sans le i est sa partie réelle.
Jusque là, ça devrait aller.

2 - Conjugué d'un nombre complexe

On a déjà parler d'expression conjuguée quand on travaillait avec des fractions avec racines carrées, rappelez-vous. Ca a un rapport, oui.

Définition

Conjugué d'un nombre complexe

Soit z = a + ib un nombre complexe.
On appelle conjugué de z, noté , le nombre complexe défini par :

= a - ib

On a juste replacé le + par un -.
Lorsque l'on multiplie une expression par son conjugué, on obtient l'identité remarquable : (a + b)(a - b) = a² - b²

3 - Module d'un nombre complexe

Une autre chose à savoir, le module d'un nombre complexe.

Définition

Module d'un nombre complexe

Soit z = a + ib un nombre complexe.
On appelle module de z, noté |z|, le nombre réel positif défini par :

Ca n'a pas un rapport avec une distance ?

Si, vous avez raison. Il y a un grand rapport avec la géométrie dans les nombres complexes. Nous verrons ça un peu plus tard dans le cours.
Le module d'un nombre complexe, c'est la racine carré du produit du nombre complexe par son conjugué.