Les nombres complexes vont nous aider à une autre chose : la résolution d'équation du second degré. Quand (avant) il n'y avait pas de solution dans les réels, maintenant il y en aura une dans l'ensemble des complexes.
Les nombres complexes vont nous être utilise plus d'une fois. Par exemple, dans les équations du second degré.
En effet, les équations du second degré qui n'avaient pas de solution réelle, car le discriminant était négatif, vont en avoir dans l'ensemble des complexes.
Propriété
Résolutions d'équation du second degré dans l'ensemble des complexes
Soit az² + bz + c = 0 une équation du second degré à coefficient réel, avec a,b,c ∈
et a ≠ 0.
Soit Δ = b² - 4ac le discriminant de cette équation.
- Si Δ > 0, alors l'équation admet deux solutions distinctes réelles :
- Si Δ = 0, alors l'équation admet une unique solution réelle :
Si Δ < 0, alors l'équation admet deux solutions distinctes complexes :
Je vous donne un exemple.
Exemple
Résolvons l'équation z² + z + 1 = 0 dans 
.
Calculons tout d'abord le discriminant : Δ = 1 - 4 × 1 × 1 = -3. On peut écrire que Δ = 3i² .
Le discriminant est négatif. On regarde dans l'encadré précédent... l'équation admet deux solutions distinctes complexes :
Et on a trouvé nos deux solutions.
.
Calculons tout d'abord le discriminant : Δ = 1 - 4 × 1 × 1 = -3. On peut écrire que Δ = 3i² .
Le discriminant est négatif. On regarde dans l'encadré précédent... l'équation admet deux solutions distinctes complexes :
Et on a trouvé nos deux solutions.
Quelques exercices sur Résolutions d'équation du second degré dans l'ensemble des complexes :