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Suite arithmétique
Cours première S

Dans ce cours je vous dis tout sur les suites arithmétiques : d'abord la définition, puis les propriétés et même la somme des termes.

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On peut classer les suites numériques en fonction de l'évolution de leur terme.

Voici une définition des suites dites arithmétiques.

Définition

Suite arithmétique

On appelle suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r la suite définie par :

définition d'une suite arithémtique

Qu'es-ce que cela veut dire concrètement ?

Je prend un exemple pour vous l'expliquer.

Exemple

Soit la suite numérique un définie par :

exemple de suite arithmétique


Cette suite est une suite arithmétique de raison 5.
Si l'on calcule les cinq premiers termes de cette suite,

u0 = 1
u1 = u0 + 5 = 1 + 5 = 6
u2 = u1 + 5 = 6 + 5 = 11
u3 = u2 + 5 = 11 + 5 = 16
u4 = u3 + 5 = 16 + 5 = 21

Que remarquez-vous ?
La différence de deux termes consécutifs est constante et égale à la raison 5. On augmente de 5 à chaque un suivant.

Ah, donc avec des suites arithmétiques nous allons pouvoir calculer le terme u1000 sans avoir à calculer les 1000 termes précédents?

OUI ! On peut le faite en utilisant seulement le u0 ou tout simplement, en prenant un autre terme de votre choix.

Propriétés

Propriétés des suites arithmétiques

  • Si u est une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r, alors :

    un = u0 + nr


  • Si u est une suite arithmétique, alors pour tout np,

    un = up + (n - p)r

Exemple

Dans l'exemple précédent, en utilisant la première formule, vous pouvez trouver le u4 par exemple :

u4 = u0 + 4 × 5 = 1 + 20 = 21


Ou en utilisant la deuxième :

u4 = u2 + (4 - 2)× 5 = 11 + 2 × 5 = 11 + 10 = 21

On vous demandera souvent de calculer la somme des termes d'une suite arithmétique.

Leur somme ? Et comment je fais ça moi?

Ne paniquer pas, il y a une formule pour ça.

Propriété

Somme des termes d'une suite arithmétique

Soit u une suite arithmétique.
La somme des termes de cette suite est donnée par :

somme d'une suite arithmétique

Vous pouvez réutilisez directement cette formule. Néanmoins, il faut bien que vous la compreniez.

exemple de somme d'une suite arithmétique


Le symbole somme d'une suite signifie la somme de 0 à n de un, c'est-à-dire u0 + u1 + u2 + ... + un.
La quantité (n + 1) signifie le nombre de terme (oui, tous les termes + le terme d'indice 0, ça fait n + 1).
Le u0 est le premier terme et un est le dernier.

Exemple

Soit la suite numérique un définie par :

exemple de somme d'une suite arithmétique


Cette suite est arithmétique de raison 4.
Calculons la somme des 100 premiers termes de cette suite.

somme d'une suite arithmétique


Il va falloir calculer le dernier terme voulu, soit . Aucun problème pour cela, on a la formule.

u100 = u0 + 100 × 4 = 3 + 400 = 403


Revenons à la formule de somme et concluons :

suite arithmétique


On peux vous demander de calculer la somme de tous les termes de la suite un en fonction de n. C'est pareil, sauf qu'on laisse le n tel quel.

Suite arithmétique : 4/5 (6 avis)
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