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Maximum et minimum d'une fonction
Cours seconde

Vous vous doutez sûrement déjà de ce que sont le maximum et le minimum d'une fonction. Voici le cours de maths qui vous explique tout sur les éventuels maximum et minimum d'une fonction.

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Soit une fonction croissante sur un intervalle D1, puis décroissante sur un intervalle D2, et encore croissante sur un intervalle D3, etc. Elle passera par un maximum et un minimum (si elle ne pars pas à l'infini). C'est le sujet de cette deuxième section.

Définition

Maximum et Minimum

Soit une fonction f définie sur un domaine D et I un intervalle de D et a un réel de I.
  • f (a) est le minimum de f sur I si et seulement si pour tout x ∈ I on a f(x) ≥ f(a),

  • f (a) est le maximum de f sur I si et seulement si pour tout x ∈ I on a f(x) ≤ f(a).

En fait, si toutes les valeurs de f(x) sont supérieurs à la valeur f(a), c'est que f(a) est la plus petite valeur de la fonction. f(a) est le minimum de la fonction.
Et si toutes les valeurs de f(x) sont inférieurs à la valeur f(a), c'est que f(a) est la plus grande valeur de la fonction. f(a) est le maximum de la fonction.

Exemple

Considérons la fonction cosinus f(x)= cos x sur [-5 ; 5] représenté si-dessous.

maximum et minimum d'une fonction


En bleu, le maximum atteint en x = 0 et vaut f(0) = 1.
En rouge, le minimum atteint deux fois dans cette intervalle, en x = -3,14 et x = 3,14 qui vaut f(-3,14) = f(3,14) = -1.

Remarque

Les fonctions qui tendent vers l'infini ne possèdent pas de maximum (ou de minimum).
Si une fonction possède un maximum (ou un minimum), il est unique, mais il peut être atteint plusieurs fois, comme on l'a vu dans l'exemple précédent.

Et comment on montre qu'une fonction a un maximum ou un minimum ?

J'attendais la question. On s'appuis sur le fait que si la fonction change de sens de variation, alors elle possède un maximum (ou un minimum).

Vous faites donc comme suit (m est le minimum et M le maximum et a et b sont deux réels) :

  • On montre que la fonction est croissante sur un intervalle [a ; M] (ou décroissante sur [a ; m]),

  • On montre que la fonction est décroissante sur un intervalle [M ; b] (ou croissante sur [m ; b]).

Alors la fonction admet un maximum M (ou un minimum m).

Remarque

Il y a une deuxième méthode :
Si f(M) - f(x) > 0, alors M est le maximum de f.
Si f(m) - f(x) < 0, alors m est le minimum de f.

Exemple

La fonction carré f(x) = x² admet un minimum en 0 qui est 0.
En effet, la fonction carrée est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; ∞[. De plus, f(0) = 0.
Cela se voit clairement sur le graphe.

minimum de la fonction carrée

Remarque

On appelle extrema le maximum et le minimum d'une fonction.

Maximum et minimum d'une fonction : 3/5 (33 avis)
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