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Colinéarité de deux vecteurs
Cours seconde

Une nouveauté cette année sur les vecteurs : la colinéarité de deux vecteurs. Dans ce cours, vous apprendrez cette notion avant de l'appliquer à l'alignement et au parallèlisme.

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1 - Définition et propriété de la colinéarité

C'est la nouveauté de cette année, celle qui va nous permettre de démontrer l'alignement et le parallélisme.

Définition

Vecteurs colinéaires

Soient les vecteurs vecteur u et .
Les vecteurs vecteur u et sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que : vecteur u = k.

Deux vecteurs sont colinéaire s'ils ont la même direction, le même sens, et s'ils sont proportionnels.

Et comment on montre que deux vecteurs sont colinéaires ?

J'allais y venir.

Propriété

Colinéarité de deux vecteurs

Soient les vecteurs vecteur u(x; y) et (x'; y').
Les vecteurs vecteur u et sont colinéaire si et seulement si : xy' - yx' = 0

Exemple

Les vecteurs vecteur u(1; 2) et (2; 4) sont colinéaires.

En effet, on remarque que : vecteur u = 2.
Cela se vérifie bien aussi comme ceci :
1×4 - 2×2 = 4 - 4 = 0

C'est toujours pareil. Si la différence xy' - yx' est nulle, les vecteurs sont colinéaires.

2 - Parallélisme et alignement

Comme je vous l'ai dit, la colinéarité va nous servir à démontrer le parallélisme, ainsi que l'alignement de points.

Propriétés

Parallélisme et alignement

Deux propriétés, une sur l'alignement, une sur le parallélisme.
  • Soient A, B et C trois points distincts du plan.
    Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs vecteur AB et vecteur AC sont colinéaires.

  • Soient deux droites distinctes (AB) et (CD) du plan.
    Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs vecteur AB et sont colinéaires.

La colinéarité de deux vecteurs signifie en fait que les vecteurs sont parallèles. Si les vecteurs sont colinéaires, alors les droites dont les vecteurs sont directeurs (les droites que dirigent chacun de deux vecteurs) sont parallèles.

Pour démontrer l'alignement ou le parallélisme, il vous suffira de montrer la coliéarité. C'est tout.

Exemple

Soient les points A(5; 3), B(6; 2) et C(-2; 0).
Les points A, B et C sont-ils alignés.

Calculons les cordonnées des vecteurs vecteur AB et vecteur AC et voyons s'ils sont colinéaires. S'ils le sont, les points sont alignés car on a deux vecteurs colinéaires et un point en commun. Sinon, les points ne le sont pas.

vecteur AB = (6 - 5; 2 - 3) = (1; -1) et vecteur AC = (-2 - 5; 0 - 3) = (-7; -3).

Regardons maintenant la colinéarité : 1×(-3) - (-1)×(-7) = -3 -7 = -10 ≠0.

Donc, les points A, B et C ne sont pas alignés.

Je ne vous donne pas d'exemple sur le parallélisme, c'est la même chose. Vous calculez les coordonnées des vecteurs qui dirigent les droites dont vous voulez savoir si elles sont parallèles ou non. Si ces deux vecteurs sont colinéaires, les droites sont parallèles, sinon tant pis.

Colinéarité de deux vecteurs : 4/5 (64 avis)
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Harine

Harine il y a 955 jours.

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