Suites numériques

Montrer qu'une suite est géométrique
Cours terminale ES

Un cours méthode sur les suite arithmétiques : comment démontrer qu'une suite est géométrique. Je vous explique tout ici.

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Considérons la suite numérique un suivante :

u0 = 2
n ∈ N, un+1 = 3un - 1

Ainsi que la suite vn définie par :

n ∈ N, vn = 2un - 1

Dans ce cours méthode, je vais vous montrer comment démontrer que vn est géométrique.

Rappelons tout d'abord la définition d'une suite géométrique.

Définition

Suite géométrique

On appelle suite géométrique de premier terme u0 et de raison q la suite définie par :

définition suite géométrique

Exprimer vn+1 en fonction de vn

Pour tout entier naturel n, calculons vn+1.
Il faudra faire apparaître l'expression de vn dans le résultat pour pouvoir exprimer vn+1 en fonction de vn.

En effet, nous cherchons à obtenir un résultat qui soit de la forme : vn+1 = vn × q, avec q ∈ R (c'est la raison de suite géomtrique, vous l'aurez compris).

Calculons donc vn+1 :

n ∈ N, vn+1 = 2un+1 - 1

vn+1 = 2 × (3un - 1) - 1

vn+1 = 6un - 1

vn+1 = 6un - 3

Exprimons maintenant vn+1 en fonction de vn.

On sait que :

n ∈ N, vn = 2un - 1

Donc, ∀ n ∈ N :

un = vn + 1
2

Ainsi, ∀ n ∈ N :

vn+1 = 6 vn + 1 - 3
2


vn+1 = 3 × (vn + 1) - 3

vn+1 = 3vn + 3

vn+1 = 3vn

Conclure que la suite vn est géométrique

Rappellons tout d'abord la condition pour qu'une suite soit géométrique : si ∀ n ∈ N, vn+1 = vn × q, avec q ∈ R, alors vn est une suite géométrique.

On précise la valeur de sa raison q et de son premier terme v0.

Attention

Lorsque l'on montre que pour tout entier n, vn+1 = vn × q, la raison q doit être un réel qui ne dépend pas de n.

Pour tout entier n, on a vn+1 = 3vn.

Donc vn est une suite géométrique de raison q = 3 et de premier terme :

v0 = 2u0 - 1 = 2 × 1 = 3.

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