Suites numériques

Montrer qu'une suite est géométrique et donner sa forme explicite
Cours terminale ES

Découvrez comment montrer qu'une suite numérique est géométrique et comment déterminer sa forme explicite avec la raison et le premier terme.

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Considérons la suite numérique un suivante :

u0 = 2
n ∈ N, un+1 = 3un - 1

Ainsi que la suite vn définie par :

n ∈ N, vn = 2un - 1

Dans ce cours méthode, je vais vous montrer comment démontrer que vn est géométrique. Puis, nous donnerons la forme explicite de cette suite géométrique.

Rappelons tout d'abord la définition d'une suite géométrique.

Définition

Suite géométrique

On appelle suite géométrique de premier terme u0 et de raison q la suite définie par :

définition suite géométrique

Exprimer vn+1 en fonction de vn

Pour tout entier naturel n, calculons vn+1.
Il faudra faire apparaître l'expression de vn dans le résultat pour pouvoir exprimer vn+1 en fonction de vn.

En effet, nous cherchons à obtenir un résultat qui soit de la forme : vn+1 = vn × q, avec q ∈ R (c'est la raison de suite géomtrique, vous l'aurez compris).

Calculons donc vn+1 :

n ∈ N, vn+1 = 2un+1 - 1

vn+1 = 2 × (3un - 1) - 1

vn+1 = 6un - 2 - 1

vn+1 = 6un - 3

Exprimons maintenant vn+1 en fonction de vn.

On sait que :

n ∈ N, vn = 2un - 1

Donc, ∀ n ∈ N :

un = vn + 1
2

Ainsi, ∀ n ∈ N :

vn+1 = 6 vn + 1 - 3
2


vn+1 = 3 × (vn + 1) - 3

vn+1 = 3vn + 3 - 3

vn+1 = 3vn

Conclure que la suite vn est géométrique

Rappellons tout d'abord la condition pour qu'une suite soit géométrique : si ∀ n ∈ N, vn+1 = vn × q, avec q ∈ R, alors vn est une suite géométrique.

On précise la valeur de sa raison q et de son premier terme v0.

Attention

Lorsque l'on montre que pour tout entier n, vn+1 = vn × q, la raison q doit être un réel qui ne dépend pas de n.

Pour tout entier n, on a vn+1 = 3vn.

Donc vn est une suite géométrique de raison q = 3 et de premier terme :

v0 = 2u0 - 1 = 2 × 2 - 1 = 3.

Donner l'expression de vnvn en fonction de n

Si vn est géométrique de raison q et de premier terme v0, alors :

n ∈ N, vn = v0 × qn

De manière générale, si le premier terme est vp, alors :

np, vn = vp ×qn-p

Comme vn est une suité géométrique de raison q = 3 et de premier terme v0 = 3, alors, ∀ n ∈ N :

vn = vO × qn.

Ainsi :

n ∈ N, vn = 3 × 3n

Attention

Pour montrer qu'une suite vn est géométrique, on peut également montrer qu'il existe un réel q tel que pour tout entier n, vn+1vn = q.

Cependant, on ne peut utiliser cette méthode que si l'on a préalablement montré que pour tout entier n, vn ≠ 0.

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