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Dérivation d'une fonction composée
Cours terminale S

Savez-vous ce qu'est une fonction composée ? Je vous explique tout ça dans ce cours de maths. Je vous apprendrai également à calculer la dérivée d'une fonction composée, vous risquez de tomber sur ça lors du Bac.

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Nous avions déjà parlé des fonction composées.
Je vous le rappelle briévement.

Définition

Composition de fonctions

Soient f une fonction définie sur I et g(x) une fonction définie sur f(I).
La fonction (on dit "g rond f") est la fonction définie aussi sur le domaine I par :

dérivée d'une fonction composée

En fait, on remplace la variable de la fonction g par la fonction f.

Exemple

Soient deux fonctions f(x) = x + 1 et g(x) = 3x² - 2x + 1.
Si on veut fonction composée :

exemple de dérivéd d'une fonction composée


Vous avez saisi l'idée ?
Je vous laisse terminer le calcul.

Eh bien, dés à présent, vous saurez calculer la dérivée d'une fonction composée directement à l'aide de la formule suivante.

Théorème

Dérivation d'une fonction composée

Soient f une fonction définie sur I et g une fonction définie sur f(I).
On a la formule suivante :

théorème dérivation d'une fonction composée

Exemple

Soit la fonction f définie par : f(x) = sin(x² + 2x + 1).

On a les fonctions h(x) = sin x et g(x) = x² + 2x + 1.
La dérivée de g est donc : g'(x) = 2x + 2.

La dérivée de h est : h'(x) = cos x.

Appliquons la formule : f'(x)= g'(x) × h'[g'(x)] = (2x + 2) cos(x² + 2x + 1).

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