Calcul de la hauteur d'un arbre

Correction exercice 4ème

Encore une fois, il faut représenté le problème sur une figure.

On a noté A le pied de l'arbre, R sa cassure, E le sommet (à terre) et le bâton de la droite (ST) posé perpendiculairement au sol, tout comme l'arbre d'ailleurs.

On considère les triangles EST et ERA de sommet commun E.
De plus, d'après l'énoncé, les droites (ST) et (AE) sont perpendiculaires, ainsi que les droites (RA) et (AE).
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.
Les droites (ST) et (RA) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (AE), donc : (ST) // (RA).

Nous avons toutes les conditions requises pour appliquer le théorème de Thalès.


ET/ER = ES/EA = ST/RA

On va prendre deux fractions dont une que l'on connait entièrement et l'autre où l'on connait une valeur et l'autre est la valeur recherchée.
La fraction ES/EA est entièrement connue car ES = 4m et EA = 12m, on la garde.
On veut calculer la hauteur totale de l'arbre, soit RA + RE.

Commençons par calculer RA :
On connait ST, prenons donc ST/RA.
On a donc :

ES/EA = ST/RA

Isolons la valeur que l'on veut calculer, c'est-à-dire RA.

RA = ST × EA/ES

On fait l'application numérique en utilisant les valeurs données dans l'énoncé.

RA = 2 × 12/4 = 6m


Calculons maintenant RE :
On connait ET, prenons donc ET/ER.
On a donc :

ES/EA = ET/ER

Isolons la valeur que l'on veut calculer, c'est-à-dire ER.

ER = EA × ET/ES

On fait l'application numérique en utilisant les valeurs données dans l'énoncé.

ER = 12 × 5/4 = 15m

Donc, l'arbre mesure :

RA + RE = 6 + 15 = 21m