Exercices

Convexité et tangente

Correction exercice terminale ES
On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = -2x³ + 3 x² - 12 x + 4.
  • Etudier la convexité de la fonction f.

    Calculons la dérivée seconde de la fonction f. Son signe nous permettra de déterminer la convexité de la fonction f.

    f'(x) = -6x² + 6x - 12

    f''(x) = -12x + 6


    Voici donc le tableau de signes de la dérivée seconde de f.

    tableau de signes et convexité


    Donc, la fonction f est convexe sur ]-∞; 0,5] et concave sur [0,5; +∞[.


  • Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f en son point d'inflexion.

    D'après le tableau de signes précédente, le point d'inflexion de la fonction f est en 0,5.

    Donc, l'équation de la tangente en 0,5 est :

    y = f'(0,5)(x - 0,5) + f(0,5)


    Or :

    f(0,5) = -1,5 f'(0,5) = -10,5


    Donc :

    y = -10,5x + 3,75