Exercices

Calculs de dérivée de fonctions avec des exponentielles

Correction exercice terminale ES
Déterminer la dérivée des fonctions suivantes.
  • f(x) = x2e-x

    Pour fout réel x, on pose u(x) = x2 et v(x) = -x.
    On a donc :

    f(x) = u(x) × ev(x)


    Les fonctions u et v sont dérivables sur l'ensemble des réels et u'(x) = 2x et v'(x) = -1.
    Donc, f est dérivable sur ensemble des réels et pour tout réel x, on a :

    f '(x) = u'(x) × ev(x) + y(x) × v'(x)ev(x) = 2xe-x - x2e-x = x(2 - x)e-x


  • g(x) = e2x × √x

    Pour tour réel x positif non plus, on pose u(x) = √x et v(x) = 2x.
    On a donc :

    g(x) = u(x) × ev(x)


    Donc :

    dérivée d'une exponentielle


  • dérivée d'une exponentielle

    Pour tout réel x, on pose u(x) = 2ex - 3x et v(x) = x2 + ex.
    On a donc :

    dérivée d'un quotient


    Or, les fonctions u et v sont dérivables sur \mathbb{R} : u'(x) = 2ex - 3 et v'(x) = 2x + ex.
    Comme pour tout réel x, v(x) ≠ 0, la fonction h est dérivable sur ensemble des réels.
    Calculons sa dérivée.

    dérivée d'une fonction avec des exponentielles