Exercices

Calculs des limites de fonctions avec des exponentielles

Correction exercice terminale ES
Déterminer la limite des fonctions suivantes en ±∞.
  • fonction

    Limite en +∞ :

    Pour tout x non nul, on a :

    réduction de fonction

    Or :
    limite de fonction

    Et :
    limite de fonction exponentielle

    Donc :
    limite de fonction avec des exponentielles

    On sait que :
    limite fonction

    Donc :
    limite fonction exponentielle

    Et donc :
    limite de fonction et exponentielle

    D'où :
    limite de fonction exponentielle


    Limite en -∞ :

    Beaucoup plus simple. On va déterminer la limite du numérateur puis celle du dénominateur.

    limite et exponentielle

    Et :
    limite d'exponentielle

    Donc :
    limite d'une fonction avec des exponentielles


  • fonction

    Limite en +∞ :

    Pour tout x non nul, on a :

    réduction de fonction

    Or :
    limite d'une fonction

    Et :
    limite d'une fonction avec des exponentielles

    Donc, d'après le théorème sur la limite de la composée de deux fonctions :

    limite d'une fonction exponentielle

    D'où :

    limite fonction exponentielles

    De plus, on sait que :
    limite d'une fonction puissance

    Et que :
    limite d'une fonction avec des exponentielles

    Donc :
    limite d'une fonction avec des exponentielles

    Or,
    limite d'une fonction avec des exponentielles

    Conclusion :
    limite d'une fonction avec des exponentielles


    Limite en +∞ :

    On a :
    limite

    Et :
    limite d'exponentielles

    Donc :
    limite d'une fonction et exponentielles

    Et :
    limite d'une fonction

    Et comme :
    limite d'une fonction exponentielle


    On peut en conclure que :
    limite et exponentielle