Exercices

Arbre et calculs de probabilités

Correction exercice terminale ES
Dans un magasin spécialisé en ordinateurs, les clients ont le choix entre :
  • Deux tailles d'écrans différentes : 10 ou 13 pouces,
  • Deux systèmes d'exploitation différents : Windows ou Mac.

Selon le responsable du magasin :
  • 50% des clients optent pour un modèle 10 pouces,
  • 35% des clients achetant un modèle 10 pouces ne choisissent pas Windows,
  • 75% des clients achetant un modèle 13 pouces choisissent Windows.

Soient les événements suivants :
  • T10 : "Le client choisit un 10 pouces",
  • T13 : "Le client choisit un 13 pouces",
  • W : "Le client choisit Windows".
  • Construire un arbre pondéré pour présenter les données de l'énoncé.

    L'énonce nous permet de déduire que :
    - 50% des clients optent pour un modèle 10 pouces : P(T10) = 0,5
    - 35% des clients achetant un modèle 10 pouces ne choisissent pas Windows : PT10(W) = 0,35
    - 75% des clients achetant un modèle 13 pouces choisissent Windows : PT13(W) = 0,75.

    On peut donc construire l'arbre pondéré représentant la situation :



  • Un client souhaite acheter un ordinateur.
    Quelle est la probabilité qu'il choisisse un ordinateur équipé du système d'exploitation Mac ?

    On cherche P(W).

    D'après l'arbre pondéré de la question précédente, on remarqu'il y a deux chemins pour arriver à W, que l'on va donc additionner pour trouver P(W).

    Voici le calcul :

    P(W) = P(T10W) + P(T13W)
    P(W) = P(T10) × PT10(W) + P(T13) × PT13(W)
    P(W) = 0,5 × 0,35 + 0,5 ×, 0,25
    P(W) = 0,175 + 0,125
    P(W) = 0,3


    La probabilité qu'un client choisisse un ordinateur équipé du système d'exploitation Mac est égale à 0,3.


  • Un client souhaite acheter un ordinateur.
    Quelle est la probabilité qu'il choisisse un ordinateur de 10 pouces équipé du système d'exploitation Windows ?

    On cherche P(T10 ∩ W).

    D'après l'arbre pondéré de la question précédente, on trouve :

    P(T10 ∩ W) = P(T10) × PT10(W)
    P(T10 ∩ W) = 0,5 × 0,65 = 0,33


    La probabilité qu'un client choisisse un ordinateur de 10 pouces équipé du système d'exploitation Windows est égale à 0,33.


  • Un client a acheté un ordinateur équipé du système d'exploitation Windows.
    Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un modèle dont l'écran mesure 10 pouces ?

    On cherche PW(T10).

    Or, si on connait son cours, on sait que :

    PW(T10) = P(W ∩ T10)
    P(W)


    Il nous reste donc à calculer P(W) comme ceci (là aussi, il faut connaître son cours) :

    P(W) + P(W) = 1
    P(W) = 1 - P(W)
    P(W) = 1 - 0,3
    P(W) = 0,7


    Maintenant, on peut appliquer la première formule pour calculer PW(T13).

    PW(T13) = 0,33
    0,70

    PW(T13) = 0,47


    Sachant que le client a acheté un ordinateur équipé de Windows, la probabilité que ce soit un modèle 10 pouces est d'environ 0,47.