Exercices

Continuité et dérivabilité d'une fonction exponentielle

Correction exercice terminale S
Soit la fonction f définie sur R+ par f(0) = 0 et si f ≠ 0 :

Continuité et dérivabilité d'une fonction exponentielle

  • Montrer que f est continue sur R*+ et étudier la continuité de f en 0.

    La fonction e-1/x est continue surensemble des réels*+, qui est la composée de fonctions continues, et la fonction racine carrée est continue sur ensemble des réels*+.
    Donc, la fonction f est continue sur ensemble des réels*+ car c'est un produit de fonctions continues.

    Etudions à présent la continuité de f en 0.
    La fonction racine est continue en 0, donc :

    limite

    De plus :
    limite d'une fonction

    Et :
    limite exponentielle

    Donc :
    limite d'une fonction exponentielle

    On en déduit donc que :
    limite d'une fonction avec des exponentielles

    Et que :
    limite et exponentielle

    La fonction f est donc continue en 0.
    Finalement, f est continue sur ensemble des réels.


  • Montrer que f est dérivable sur R*+ et étudier la dérivabilité de f en 0.

    La fonction e-1/x est dérivable sur ensemble des réels*+, qui est la composée de fonctions continues, et la fonction racine carrée est dérivable sur ensemble des réels*+.
    Donc, la fonction f est dérivable sur ensemble des réels*+ car c'est un produit de fonctions continues.

    Etudions à présent la dérivabilité de f en 0.
    Si x > 0, alors :

    dérivavilité d'une fonction

    Or, on sait que :
    limite

    De plus :
    limite de fonctions

    Et :
    limite et exponentielle

    Donc :
    limite d'une fonction exponentielle

    D'où :
    limite d'une fonction avec des exponentielles

    La fonction f est dérivable en 0 et on a :

    f '(0) = 0