Exercices

Caractéristiques de transformations complexes

Correction exercice terminale S
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que :

  • z' = z + 2 - 3i

    C'est du cours, f est la translation de vecteur d'affixe 2 - 3i.


  • z' = -4z + 2 - 3i

    Ici, f est l'homothétie de rapport -4 et de centre Ω d'affixe ω.
    Ω est un point invariant par f, donc :

    ω = -4ω + 2 - 3i = 2 - 3 i
    5 5


  • z' = iz + 2 + i

    f est la rotation d'angle arg(i) = π/2 et centre Ω d'affixe ω.
    Ω est un point invariant par f, donc :

    ω = iω + 2 + i = 2 + i = (2 + i)(1 + i) = 1 + 3 i
    1 - i 2 2 2


  • z' = -1 + i3 z + 2 - i
    2

    On a :

    | -1 + i3 | = 1
    2


    Et :

    -1 + i3 ≠ 1
    2


    Donc, f est la rotation de centre Ω d'affixe ω et d'angle :

    arg( -1 + i3 ) =
    2 3


    Ω est un point invariant par f, donc :

    ω = -1 + i3 ω + 2 - i = 2(2 - i) = 1 + 3 + i( 3 - 1 )
    2 3 - i3 6 3 2


    Du coup, f est la rotation d'angle 2π/3 et de centre Ω d'affixe :

    1 + 3 + i( 3 - 1 )
    6 3 2