Exercices

Résolution d'équations complexes

Correction exercice terminale S
Résoudre, dans l'ensemble des complexe, les équations suivantes :
  • (5 + 2i)(z - 2i) = (3 + i +z)(2 - i)

    Développons tout ça.

    (5 + 2i)(z - 2i) = (3 + i +z)(2 - i)

    ⇔ 5z - 10i + 2iz + 4 = 6 - 3i + 2i + 1 + 2z - zi

    ⇔ 3z + 3iz = 3 + 9i

    z + iz = 1 + 3i


    Essayons d'isoler le z en factorisant.

    z + iz = 1 + 3i

    z (1 + i) = 1 + 3i

    z = 1 + 3i
    1 + i


    Uitlisons l'expression conjuguée.

    z = (1 + 3i)(1 - i)
    2


    On développe tout ça et on trouve finalement :

    z = 2 + i


  • (z - 1 + 2i)(iz + 2i - 3) = 0

    N'oubliez pas : un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.

    (z - 1 + 2i)(iz + 2i - 3) = 0

    z - 1 + 2i = 0 OU iz + 2i - 3 = 0


    Conclusion :

    z = 1 - 2i OU z = -2 - 3i


  • z² = -3 + 4i

    Ici, nous allons procéder différemment.

    Posons : z = x + iy, avec x et y réels.

    Notre équation de départ devient :

    (x + iy)² = -3 + 4i

    x² - y² + 2xyi = -3 + 4i


    On sait que deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties imaginaires ET réelles sont égales.

    Donc :

    (x + iy)² = -3 + 4i

    x² - y² = - 3 ET 2xy = 4

    x² - y² = - 3 ET xy = 2


    Si xy = 2, alors (xy)² = x² y² = 4.

    Or, d'après la première équation, y² = x² + 3.

    Donc, en remplaçant, ça donne :

    x²(x²+ 3) = 4 ⇔ x4 + 3x² - 4 = 0


    Il faut donc résoudre cette équation du 4ème degré.

    On pose cette fois-ci X = x².

    L'équation à résoudre devient X² + 3X - 4 = 0.
    Elle admet deux solutions distinctes : X = 1 et X = -4.

    Mais, comme X = x², on a les solutions : x = 1 ou x = -1 (la solution X = -4 n'a pas été retenue car elle était négative et un carré est toujours positif).

    En remplaçant dans xy = 2, on en conclut que si l'équation possède des solutions alors elles appartiennent à :

    {(1; 2), (-1; -2)}


    On vérifie alors facilement que les solutions de l'équation de départ sont :

    z = 1 + 2i
    z = -1 - 2i


  • (z² + 2)(z² + 1) = 0

    Un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.

    (z - 1 + 2i)(iz + 2i - 3) = 0

    z² + 2 = 0 OU z² + 1 = 0

    z = i2 ou z = -i2 OU z = i ou z = -i


  • z² - 2z cos θ + 1 = 0, avec θ ∈ ]0; π[.

    C'est une équation du second degré à résoudre.
    Son discriminant est :

    Δ = 4cos²θ - 4 = 4(cos²θ - 1) = -4sin²θ = (2i sin θ


    Vous l'avez compris, à cause du i, il est strictement négatif.

    Donc, l'équation admet deux solutions complexes, les voici :

    z1 = 2cos θ + 2i sin θ = cos θ + i sin θ = e
    2

    z2 = z1 = cos θ - i sin θ = e-iθ


    Conclusion, les deux solutions sont :

    z1 = e
    z2 = e-iθ