Exercices

Equations cartésiennes d'un cercle et d'une tangente

Correction exercice terminale S
Soient, dans le plan, les points A(2; 3) et B(3; -1).
  • Déterminer une équation du cercle C de diamètre [AB].

    Soit un point M(x; y). On obtient une équation du cercle C en disant (par exemple) que les vecteurs vecteur AM et vecteur BM sont orthogonaux, c'est-à-dire que leur produit scalaire est nul.

    M(x; y) ∈ (C) ⇔ vecteur AM.vecteur BM = 0

    ⇔ (x - 2)(x - 3) + (y - 3)(y + 1) = 0

    x² - 5x + y² - 2y + 3 = 0


  • Vérifier que le point C(2; -1) appartient au cercle C.

    Le point C appartient au cercle C car ses coordonnées vérifient parfaitement l'équation du cercle.


  • Donner une équation de la tangente au cercle au point C.

    Notons Ω le centre du cercle (C) et (T) la tangente au point C.
    Ω est donc le milieu de [AB], il a donc pour coordonnées (5/2; 1).

    Reprenons toujours ce fameux point M(x; y). On obtient une équation de la tangente au cercle au point C en disant que les vecteurs et sont orthogonaux, autrement dit : que leur produit scalaire est nul.

    M(x; y) ∈ tT) ⇔ . = 0

    ⇔ (x - 2)(-1/2) + (y + 1)(-2) = 0

    x + 4y + 2 = 0