Fonction exponentielle

Etude de deux fonctions avec des exponentielles
Correction exercice terminale ES

Soient les fonctions f et g définies par :

Etude de fonctions exponentielles


On désigne par Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions f et f dans un repère orthonormé.

  • Déterminer la limite de la fonction f en -∞.

    Pour tout réel x, on a :

    réduction de fonction

    On sait que :
    limite d'une fonction avec des exponentielles

    Et que :
    limite d'une fonction et exponentielle

    Donc :
    limite d'une fonction exponentielle

    De plus :
    limite

    Et :
    limite exponentielle

    Donc, d'après le théorème sur la limite de la composé de deux fonctions :

    limite d'une fonction exponentielle

    D'où :
    limite d'une exponentielle

    Finalement, on obtient :
    limite d'une fonction


  • Déterminer la limite de la fonction f en +∞.

    On a :

    réduction de fonction

    Donc :
    limite d'une fonction

    Or :
    limite

    Et :
    limite d'une fonction avec des exponentielles

    Donc :
    limite d'une fonction exponentielle

    Ainsi :
    limite exponentielle

    Et donc :
    limite et exponentielle


  • On pose h(x) = f(x) - g(x). Déterminer la limite de la fonction f en +∞. Donner une interprétation graphique de ce résultat.

    On a :

    h(x) = f(x) - g(x) = xe-x


    Et on a vu que :
    limite d'une fonction exponentielle

    Donc :
    limite d'une fonction

    Qu'es-ce que cela veut dire ?
    Eh bien, comme f(x) = g(x) + h(x) et que la limite de h(x) en l'infini vaut 0, la courbe Cg est une courbe asymptote à la courbe Cf.


  • Etudier la position relative des courbes Cf et Cg.

    On a :

    f(x) - g(x) = h(x) = xe-x


    Et h(x) est du signe de x, donc Cf est au dessous de Cg sur l'intervalle ]-∞; 0[ et Cf est au dessus de Cg sur ]0; +∞[.
    De plus, les courbes se coupent au point d'abscisse 0.


  • Montrer que la dérivée f ' de f est : f '(x) = (x - 1)(1 - ex).

    D'abord, la fonction f est dérivable sur l'ensemble des réels et pour tout réel x, la dérivée de f est :

    f '(x) = x - 1 + ex - xe-x = (x - 1) - e-x(x - 1) = (x - 1)(1 - e-x)


  • Etudier le signe de cette dérivée pour en déduire les variations de la fonction f.

    On a :

    1 - e-x > 0
    ⇔ 1 > e-x
    ex > 1
    x > 0


    On en déduit aisément le tableaux de signes suivant :

    tableau de signes

    On en déduit facilement que f est strictement croissante sur ]-∞; 0[ et sur [1; +∞[ et strictement décroissante sur [0; 1].


  • Dresser le tableau de variation des fonction f et g.

    Le tableau de variations de la fonction f se déduit du tableau de signes précédent :

    tableau de variations

    Pour la fonction g, on a :

    g'(x) = x - 1


    Donc :

    tableau de variations


  • Tracer Cf et Cg.

    Voici les représentations graphiques des fonction f et g.

    représentations graphiques


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