Fonctions de référence

Fonctions de référence

Ce chapitre va lister toutes les fonctions que vous devez connaître par coeur.
Inutile donc de vous rappeler que ce chapitre est à apprendre sur le bout des doigts.

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Ce cours de maths Fonctions de référence se décompose en 5 parties.

  • 1. Parité : fonction paire et fonction impaire

    On distingue des fonctions paires et des fonctions impaires.

    Définition

    Fonction paire Soit une fonction f définie sur un domaine D.
    La fonction f est paire si pour tout éléments x de D, f(-x) = f(x) (avec -x ∈ D).

    Sa courbe représentative admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.

    Définition

    Fonction impaire Soit une fonction f définie sur un domaine D.
    La fonction f est impaire si pour tout éléments x de D, f(-x) = -f(x) (avec -x ∈ D).

    Sa courbe représentative admet l'origine du repère comme centre de symétrie.

    Attention

    Si une fonction n'est pas paire, elle n'est pas forcément impaire (et inversement). Une fonction peut être ni paire ni impaire.

    Exemples

    Voici un exemple de chaque.

    fonction paire et fonction impaire

  • 2. Fonction affine

    Je sais que vous savez ce qu'est une fonction affine. Certes. Cela dit, je rabâche.

    Définition

    Fonctions affine et linéaire Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b avec a et b deux réels fixés.
    Si b = 0, alors la fonction f(x) = ax est une fonction linéaire.

    La courbe représentative d'une fonction affine est une droite.
    La courbe représentative d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère.

    a est le coefficient directeur de la droite et b son ordonnée à l'origine.

    Si a < 0, alors la fonction est décroissante et si a > 0, alors la fonction est croissante.

    Exemple

    La fonction f(x) = 3x - 1 est une fonction affine de coefficient directeur égal à 3 et d'ordonnée à l'origine égal à (-1).
    Or, 3 > 0. Donc la fonction f est croissante.
    Pour la représenter, on trace un tableau de valeurs. Vous savez faire.

    Remarque pratique

    Pour tracer une fonction affine f(x) = ax + b, il suffit de placer le point de coordonnées (0 ; b), puis de se déplacer de une unité vers la droite puis de a unité vers le haut si a > 0 ou vers le bas si a < 0.
    C'est très pratique.

    Remarque/Exemple

    Si on vous demande de retrouver une fonction affine f tel que f(1) = 0 et f(2) = 4 :
    On revient, encore et toujours, à la définition. On sait qu'une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b, on cherche le a et le b.
    Or, f(1) = 0 et f(2) = 4. Donc :

    a × 1 + b = 0

    a × 2 + b = 4


    On résout donc le système suivant :

    exemple sur les fonctions affines


    On va faire L1 - L2.

    -a = -4

    a = 4


    On trouve ensuite b :

    -a + b = 0

    a = -b

    b = -4


    Donc, le couple de solution de ce système est (4 ; -4).

    Et donc la fonction recherchée est : fonction affine recherchée
    Je vous laisse vérifier.

  • 3. Fonction carrée

    Nous allons à présent étudier la fonction carrée. C'est très simple. Retenez-la par coeur.

    Définition

    Fonction carrée La fonction carrée est la fonction f définie sur par f(x) = x².

    La fonction carrée est une fonction paire. Donc, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

    Elle est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.

    La courbe représentative de la fonction carrée est une parabole.

    Voici sa représentation graphique :

    fonction carrée

    Mais pourquoi il faut connaître cette fonction par coeur ?

    Cette fonction va nous aider à étudier beaucoup d'autres fonctions possédant un carré. Regardez bien le point méthode qui suit.

    Point méthode : Pour étudier les variations d'une fonction f définie sur ensemble de définition réel par f(x) = (x + a)² + b, vous avez deux façons de faire :

    • On détermine successivement les fonctions des fonctions , puis on dresse le tableau de variation sachant que les variations de f(x) = (x + a)² sont les mêmes que celles de f(x) = (x + a)² + b.

    • On monte que la courbe représentative C de la fonction f(x) = (x + a)² + b se déduit de la courbe représentative P de la fonction carrée par translation de vecteur .

    Exemple

    Etudier les variations de la fonction f(x) = (x + 1)² - 2 par les deux méthodes précédentes.
    • Première méthode :
      La fonction est strictement croissante et positive sur [-1 ; +∞[ et strictement croissante et négative sur ]-∞ ; -1].
      La fonction est strictement croissante sur [-1 ; +∞[ et strictement décroissante sur ]-∞ ; -1] car c'est une fonction carré.
      Donc : la fonction f est strictement croissante sur [-1 ; +∞[ et strictement décroissante sur ]-∞ ; -1].


    • Seconde méthode :
      Soit un point M(x ; y) appartenant à la courbe C représentative de la fonction f si et seulement si y = (x + 1)² - 2 ⇔ y + 2 = (x + 1)².
      Donc le point de coordonnées (x + 1 ; y + 2) appartient à la courbe P représentative de la fonction carrée.
      On passe donc de C à P par une translation de vecteur et de P à C par une translation de vecteur .
      D'où la construction de C suivante :

      sens de variation d'une fonction


      La fonction f est donc strictement croissante sur [-1 ; +∞[ et strictement décroissante sur ]-∞ ; -1].

  • 4. Fonction inverse

    Et maintenant, étudions la fonction inverse.

    Définition

    Fonction inverse La fonction inverse est la fonction f définie sur ensemble des réels - {0} (appelé aussi ensemble des réels+) par fonction inverse.

    La fonction inverse est une fonction impaire. Donc, son centre de symétrie est l'origine du repère.

    Elle est décroissante sur ensemble des réels positifs+ et décroissante sur ensemble des réels négatifs-.

    La courbe représentative de la fonction carrée est une hyperbole.

    Elle possède une asymptote verticale en x = 0 et une asymptote horizontale d'équation y = 0. En effet, 0 est une valeur interdite (donc asymptote verticale), et elle ne peut pas être nulle (donc asymptote horizontale).

    Voici sa représentation graphique :

    représentation graphique de la fonction inverse

    Cette fonction aussi nous aide à l'étude d'autre fonctions du même type ?

    Oui, regardez.

    Point méthode : Pour étudier les variations d'une fonction f définie sur par étude d'une fonction inverse, vous avez deux façons de faire :

    • On détermine successivement les fonctions des fonctions fonction inverse, puis on dresse le tableau de variation sachant que les variations de sont les mêmes que celles de .

    • On monte que la courbe représentative C de la fonction se déduit de la courbe représentative P de la fonction inverse par translation de vecteur vecteur inverse.


    Je ne donne pas d'exemple pour cette partie là. C'est exactement de la même façon que pour la section précédente.

  • 5. Fonctions trigonométriques : fonction sinus et fonction cosinus

    Cette fois-ci, une grande concentration est demandée car les fonction trigonométriques sont ultra importantes en mathématiques.
    Nous allons d'abord introduire quelques notions, avant de les étudier.

    Définition

    Cercle trigonométrique Soit un repère orthonormal (O ; I ; J). On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre 0, de rayon 1, orienté dans le sens positif (ou sens direct).

    cercle trigonométrique

    Remarque

    Attention, le sens positif est le sens contraire au aiguilles d'une montre. Ne me demandez pas pourquoi, c'est une convention mathématiques.

    Définitions

    Fonctions trigonométriques Soit un repère orthonormal (O ; I ; J).
    On appelle cosinus de x, noté cos x, l'abscisse du point M appartenant au cercle trigonométrique, et sinus de x, noté sin x, l'ordonnée de ce point M.

    cercle trigonométrique cosinus et sinus

    Mais ce ne sont pas des fonctions si elles sont sur un cercle ? Je n'ai pas compris.

    Si, ce sont des fonctions que l'on représente sur un cercle. Je vous les présente dans un "vrai" repère tout de suite.

    Définitions

    Fonction sinus et cosinus
    • La fonction cosinus est la fonction f définie sur par f(x) = cos x.
      C'est une fonction paire et périodique de période 2π, c'est-à-dire qu'elle se répète tous les 2π.
      Sur une période [-π; π], elle est croissante sur [-π ; 0] et décroissante sur [0 ; π].
      La courbe représentative de la fonction cosinus est une sinusoïde.

      fonction cosinus



    • La fonction sinus est la fonction f définie sur par f(x) = sin x.
      C'est une fonction impaire et périodique de période 2 π.
      Sur une période [-π; π], elle est décroissante sur [-π ; -π/2] et sur [π/2; π] et croissante sur [-π/2 ; π/2].
      La courbe représentative de la fonction sinus est une sinusoïde.

      fonction sinus

    Il existe un tas de propriétés pour ces deux fonctions sin et cos. En voici quelques-unes.

    Propriétés

    Propriétés des fonction trigonométriques Voici les deux principales propriétés des fonctions cosinus et sinus.
    • Pour tout réel x : -1 ≤ cos x ≤ 1 et -1 ≤ sin x ≤ 1.

    • cos² x+ sin² x = 1

    • Parité : cos(-x) = cos (x) (fonction paire) et sin(-x) = -sin (x) (fonction impaire).

    Remarque

    Quand on dit "π", "π/2", etc. on parle de radians. Sachez que 2π radians vaut 360°.

    Exemple

    60° vaut π/3 radians.
    En effet, par le produit en croix :

    fonction trigonométriques

    Il y a des valeurs à connaître par coeur, comme par exemple : valeurs des fonctions trigonométriques. Voici la suite.

    tableau de valeurs des fonctions trigonométriques


    cercle trigonométrique

    Et comment je fais pour les autres angles ?

    Vous vous servirez des propriétés de parités ou autres pour les déterminer. Ou utilisez la remarque suivante.

    Remarque importante

    Pour donner la valeur principale d'un angle, on décomposera sous la forme θ + 2kπ, avec θ appelée mesure principale de l'angle.

    Exemple 1

    Donner la valeur de .
    On décompose le etude de fonction trigonométriques comme ceci :

    étude de fonction cosinus


    Or, cos(4π) = 0.
    Donc :

    étude de fonction sinus

    Exemple 2

    Sachant que x est dans une premier quart du cercle trigonométrique, et que étude de fonction trigo, calculer sin x.
    On sait que, pour tout x, cos² x + sin² x = 1, donc :

    fonction trigo


    Donc :

    étude des fonctions trigo


    Or, x se trouve dans le premier quart du cercle trigonométrique, là où le sinus est positif. Donc :



    Avec la calculatrice, on trouve une valeur approchée de x à 10-3 près de : x = 0,841 rad.

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