Fonctions de référence

Fonction carrée
Cours seconde

Un cours de maths qui présente la fonction carrée que vous devez savoir étudier parfaitement. C'est une fonction très simple que vous allez rencontrer très souvent.

Nous allons à présent étudier la fonction carrée. C'est très simple. Retenez-la par coeur.

Définition

Fonction carrée

La fonction carrée est la fonction f définie sur par f(x) = x².

La fonction carrée est une fonction paire. Donc, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Elle est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.

La courbe représentative de la fonction carrée est une parabole.

Voici sa représentation graphique :

fonction carrée

Mais pourquoi il faut connaître cette fonction par coeur ?

Cette fonction va nous aider à étudier beaucoup d'autres fonctions possédant un carré. Regardez bien le point méthode qui suit.

Point méthode : Pour étudier les variations d'une fonction f définie sur ensemble de définition réel par f(x) = (x + a)² + b, vous avez deux façons de faire :

  • On détermine successivement les fonctions des fonctions , puis on dresse le tableau de variation sachant que les variations de f(x) = (x + a)² sont les mêmes que celles de f(x) = (x + a)² + b.

  • On monte que la courbe représentative C de la fonction f(x) = (x + a)² + b se déduit de la courbe représentative P de la fonction carrée par translation de vecteur .

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Exemple

Etudier les variations de la fonction f(x) = (x + 1)² - 2 par les deux méthodes précédentes.
  • Première méthode :
    La fonction est strictement croissante et positive sur [-1 ; +∞[ et strictement croissante et négative sur ]-∞ ; -1].
    La fonction est strictement croissante sur [-1 ; +∞[ et strictement décroissante sur ]-∞ ; -1] car c'est une fonction carré.
    Donc : la fonction f est strictement croissante sur [-1 ; +∞[ et strictement décroissante sur ]-∞ ; -1].


  • Seconde méthode :
    Soit un point M(x ; y) appartenant à la courbe C représentative de la fonction f si et seulement si y = (x + 1)² - 2 ⇔ y + 2 = (x + 1)².
    Donc le point de coordonnées (x + 1 ; y + 2) appartient à la courbe P représentative de la fonction carrée.
    On passe donc de C à P par une translation de vecteur et de P à C par une translation de vecteur .
    D'où la construction de C suivante :

    sens de variation d'une fonction


    La fonction f est donc strictement croissante sur [-1 ; +∞[ et strictement décroissante sur ]-∞ ; -1].

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Fonction carrée : 2/5 (8 avis)
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