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Opérations sur les fonctions
Cours première S

Maintenant que vous connaissez tout sur les fonctions en général, nous allons les manipuler dans des opérations simples : additions, multiplication, quotient et composition de fonctions.

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Nous allons voir maintenant que l'on peut effectuer des opérations sur des fonctions.

Commençons par la somme de deux fonctions.

Propriété

Addition de fonctions

Soient f et g deux fonctions définie sur I.
La fonction f + g est la fonction définie aussi sur le domaine I par :

(f + g)(x) = f(x) + g(x)


La courbe représentative de cette fonction se déduit point par point à partir de la courbe de f en ajoutant les ordonnées.

Propriétés

Addition et variations fonctions

Soient f et g deux fonctions définie sur I.
  • Si f et g sont deux fonctions croissantes, alors la fonction f + g est aussi une fonction croissante,

  • Si f et g sont deux fonctions décroissantes, alors la fonction f + g est aussi une fonction décroissante.

Et maintenant : la multiplication d'une fonction par un réel k.

Propriété

Multiplication de fonctions par un réel

Soit f une fonction définie sur I et kensemble des réels.
La fonction kf est la fonction définie aussi sur le domaine I par :

(kf)(x) = k × f(x)


La courbe représentative de cette fonction se déduit point par point à partir de la courbe de f en multipliant l'ordonnée f(x) par k.

Propriétés

Multiplication par un réel et variations de fonctions

Soit f une fonction définie sur I et kensemble des réels.
  • Si k > 0, alors les fonctions f et kf ont le même sens de variation,

  • Si k < 0, alors les fonctions f et kf ont des sens de variation opposés.

Puis le produit de deux fonctions.

Propriété

Multiplication de fonctions

Soient f et g deux fonctions définie sur I.
La fonction f × g est la fonction définie aussi sur le domaine I par :

(f × g)(x) = f(x) × g(x)

Et leur quotient.

Propriété

Quotient de fonctions

Soient f et g deux fonctions définie sur I, tel que g(x) ≠ 0 pour tout réel x.
La fonction quotient de fonctions est la fonction définie aussi sur le domaine I par :

opérations sur les fonctions

Une opération nouvelle à présent : la composition.

Propriété

Composition de fonctions

Soient f une fonction définie sur I et g(x) une fonction définie sur f(I).
La fonction (on dit "g rond f")est la fonction définie aussi sur le domaine I par :

composition de deux fonctions

En fait, on remplace la variable de la fonction g par la fonction f.

Exemple

Soient deux fonctions f(x) = x + 1 et g(x) = 3x² - 2x + 1.
Si on veut :

exemple de composition de deux fonctions


Vous avez saisie l'idée ?
Je vous laisse terminer le calcul.

Propriétés

Composition et variations de fonctions

Soient f une fonction définie sur I et g(x) une fonction définie sur f(I).
  • Si f et g ont le même sens de variation, alors composition de deux fonctions est croissante,

  • Si f et g ont des sens de variation opposés, alors deux fonctions composées est décroissante.

Toutes ces notions sur les opérations de fonction vont vous aider à étudier les variations des fonctions.
Vous pourrez considérez que la fonction à étudier est une somme, un produit, un quotient de deux fonctions, ou alors une fonction multiplier par un coefficient (k rappelez-vous).
Vous utiliserez ainsi les propriétés que je viens de vous apprendre.

Exemple

La fonction f(x) = x² + 3x est croissante sur [0 ; +∞[.
En effet :
  • La fonction carrée est croissante sur [0 ; +∞[,

  • La fonction x est croissante sur [0 ; +∞[, donc la fonction 3x l'est aussi par produit de fonction par une réel,

  • Par somme de deux fonctions : la fonction f(x) = x² + 3x est croissante sur [0 ; +∞[.

Opérations sur les fonctions : 4/5 (2 avis)
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