Polynôme du second degré

Donner le signe d'un trinôme du second degré
Cours première S

Dans ce cours méthode, je vous explique comment déterminer le signe d'un polynôme du second degré en utilisant son discriminant et les propriétés du cours sur les trinômes.

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Soit le polynôme du second degré suivant :

P(x) = x² - 3x + 2

Déterminer le signe du polynôme P.

Identifier a, b et c

Commençons tout d'abord par identifier a, b et c dans le polynôme P tels que P(x) = ax² + bx + c

Cela se trouve facilement :

  • a = 1
  • b = -3
  • c = 2

Calculer le discriminant du polynôme

Vous vous rappeler de la formule du discriminant Δ ? C'est la suivante :

Δ = b² - 4ac

A présent, calculons-le dans l'exemple proposé.

Δ = (-3)² - 4 × 1 × 2

Δ = 8

Δ = 1

Rappelons la propriété du discriminant d'un polynôme du second degré

Soit le polynôme P(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) et Δ son discriminant.
  • Si Δ < 0, alors le trinôme est du signe de a (il ne s'annule jamais).

  • Si Δ = 0, le trinôme est du signe de a et s'annule en : équation du second degré.

  • Si Δ > 0, le trinôme est du signe de a à l'extérieur de l'intervale délimité par les racines : solution d'une équation du second degré, et du signe de -a à l'intérieur.
  • Dans notre cas, Δ = 1 > 0

    Calcul des racines de Δ

    Les deux racines sont : solution d'une équation du second degré

    Après calcul, on trouve :

    x1 = 1

    x2 = 2

    Conclure sur le signe du polynôme

    Du coup :

    • P(x) > 0 si x ∈ ]-∞; 1[U]2; +∞[,
    • P(x) < 0 si x ∈ ]1; 2[.
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