Equations de droites et systèmes linéaires Télécharger en PDF Télécharger la fiche

Système linéaire
Cours seconde

On termine ce chapitre par ce cours sur les systèmes linéaires. Je vous apprends à les résoudre simplement mais aussi avec une méthode de changement de variable.

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Résolution de systèmes

L'année dernière, vous aviez vu les systèmes de deux équations. Les revoilà avec la notion de droites.

Définition

Système de deux équations à deux inconnues

Soit un système suivant de deux équations à deux inconnues.

résolution de systèmes

Les solutions de ce système sont tous les couples (x; y) qui vérifient les deux équations.

Mais quel est le rapport avec les droites ?

Le rapport ? Bien, ces deux équations sont deux équations de droites. On cherche le couple d'inconnue (ou de coordonnées) qui vérifient à la fois la première équation et la deuxième. La solution de ce système c'est donc ? C'est.... c'est ... c'est... ? Le point d'intersection des deux droites, oui !

Il existe plusieurs méthodes pour résoudre un système linéaire.

Définition

Résolution de système par combinaison

Deux principes pour la résolution d'un systèmes à deux équations à deux inconnues :
  • On peut multiplier (ou diviser) tous les termes d'une équation par un même nombre,
  • On peut additionner les deux équations terme-à-terme.
Une fois ces deux principes effectuées, on aura ramener le problème à une seule équation à une inconnue que l'on sait tous résoudre maintenant.

Expliquons bien : nous savions déjà que nous pouvons multiplier tous les termes d'une équation par un même nombre. Jusque là, pas de problème. Ensuite, on additionne en fait les x de la première équation avec ceux de la seconde, pareil pour les y, etc., dans le but de supprimer une des deux inconnues.

On trouvera donc une seul équation avec une inconnue, que l'on résout.

Puis on prend une des deux équations de départ (la plus "jolie") et on remplace l'inconnue trouver pour transformer cette équation en une équation à une seule inconnue, que l'on sait résoudre. Et voilà.

Regardez bien l'exemple qui suit. Il résume tout ce que je viens de dire.

Exemple

Quelle est le point d'intersection des droites d'équations y = x + 2 et y = 3x - 1 ?

résolution d'un système d'équations

On va avant tout numéroter les lignes du système comme ceci :

système d'équations

On choisit ensuite quelle inconnue nous voulons supprimer. C'est comme on veut. Allons pour la suppression de y, c'est le plus simple ici.

On fait une soustraction terme-à-terme : y - y = 0, x - 3x = -2x (normal, c'est ce qu'on voulait) et enfin (-1) = 2 + 1 = 3.

On obtient donc l'équation suivante :

exemple de résolution d'un système d'équations

Que l'on résout pour trouver que :

exercice système d'équations

On a trouvé x, cherchons y.
On va tout simplement remplacer la valeur trouvée de x dans une des équation de notre choix. Remplaçons x par 3/2 dans (L1).

système d'équation

La solution de cette équation est :

solution d'un système d'équations

On a donc trouvé la solution du système : (3/2; 7/2).

Conclusion : le point d'intersection des droites y = x + 2 et y = 3x - 1 est le point de coordonnées (3/2; 7/2). L'exercice est alors terminé.

La seconde méthode est la méthode par substitution. Elle consiste à exprimer une inconnue en fonction de la seconde et de remplacer tout ça dans une des deux équations. Dans l'exemple précédent, on aurait fait ainsi :

système d'équations

On a deux expressions de y, donc on peut égaliser les deux équation :

résolution d'un système d'équations

On continu en résolvant la première équation, puis la deuxième.

Nombres de solutions d'un système linéaire

Un système peut avoir zéro, une ou plusieurs solutions.

Dans le cas où le système n'a pas de solution : les deux droites sont parallèles.
Dans le cas où le système a une unique solution, les deux droites de coupent en un point dont les coordonnées sont le couple de solution de ce système.
Si le système a plusieurs solutions, alors les deux droites sont confondues.

Peut-on savoir à l'avance combien de solutions a le système ?

Oui. C'est ce que vous ferez si on vous demande par exemple la nature deux deux droites, si elles sont parallèle sou non. Voici comment on fait.

Propriétés

Nombres de solutions d'un système linéaire

Soit un système suivant de deux équations à deux inconnues.

nombres de solutions d'un système linéaire

On calcule les quatités ab' - a'b et bc' - b'c et :
  • Si ab' - a'b = 0 et bc' - b'c ≠ 0, alors le système admet aucune solution,
  • Si ab' - a'b ≠ 0, alors le système admet une unique solution,
  • Si ab' - a'b = 0 et bc' - b'c = 0, alors le système dament une infinité de solutions.

Exemple

Combien de solution admet le système suivant ?

solutions d'un système linéaire

Calculons : 2 × 3 × (-2) = 8 ≠ 0.

Donc, le système admet une unique solution.

Autre exemple

Les droites d'équations y = 3x + 2 et y = -x - 2 sont-elles parallèles ?

On forme le système suivant :

résolution d'un système linéaire

Que l'on transforme pour avoir la bonne forme.

système d'équations

Puis on utilise la propriété précédente en calculant : (-3) × 1 × 1 = -4 ≠ 0.

Le système admet une unique solution.
Donc, les droites ne sont pas parallèles.

Changement de variable

Cette partie du cours est surement la plus compliquée. C'est elle qui va clôturée ce chapitre, alors un dernier petit effort et vous pourrez aller tranquillement vous reposer après.

Exemple

Soit le système suivant :

changement de variables

Comment on va résoudre tout ça. En faisant ce qu'on appelle un changement de variables.

On va donc poser deux nouvelles variables, x et y, qui seront fonction des anciennes, x et y.

Posons donc : exemple de changement de variables.

On obtient le système :

changement de variables et systèmes d'équations

Nous savons à présent résoudre ce système.
Je vous laisse le faire, ça sera un bon exercice pour vous.

Voici la solution : (2, -1).

Mais attention, c'est X = 2 et Y = -1.

Comment retrouver x et y ?

En faisant le chemin inverse. On va résoudre les équations suivantes :

changement de variables et systèmes

On trouve : x = 2 et y = -1.

Conclusion : la solution du système de départ est le couple (2; -1).

Voilà, fini pour ce chapitre. Vous pouvez disposer.

Système linéaire : 4/5 (6 avis)
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