On termine ce chapitre par ce cours sur les systèmes linéaires. Je vous apprends à les résoudre simplement mais aussi avec une méthode de changement de variable.
1 - Résolution de systèmes
L'année dernière, vous aviez vu les systèmes de deux équations. Les revoilà avec la notion de droites.
Définition
Système de deux équations à deux inconnues
Soit un système suivant de deux équations à deux inconnues.
Les solutions de ce système sont tous les couples (x; y) qui vérifient les deux équations.
Mais quel est le rapport avec les droites ?
Le rapport ? Bien, ces deux équations sont deux équations de droites. On cherche le couple d'inconnue (ou de coordonnées) qui vérifient à la fois la première équation et la deuxième. La solution de ce système c'est donc ? C'est.... c'est ... c'est... ? Le point d'intersection des deux droites, oui !
Il existe plusieurs méthodes pour résoudre un système linéaire.
Définition
Résolution de système par combinaison
Deux principes pour la résolution d'un systèmes à deux équations à deux inconnues :- On peut multiplier (ou diviser) tous les termes d'une équation par un même nombre,
- On peut additionner les deux équations terme-à-terme.
Expliquons bien : nous savions déjà que nous pouvons multiplier tous les termes d'une équation par un même nombre. Jusque là, pas de problème. Ensuite, on additionne en fait les x de la première équation avec ceux de la seconde, pareil pour les y, etc., dans le but de supprimer une des deux inconnues.
On trouvera donc une seul équation avec une inconnue, que l'on résout.
Puis on prend une des deux équations de départ (la plus "jolie") et on remplace l'inconnue trouver pour transformer cette équation en une équation à une seule inconnue, que l'on sait résoudre. Et voilà.
Regardez bien l'exemple qui suit. Il résume tout ce que je viens de dire.
Exemple
On va avant tout numéroter les lignes du système comme ceci :
On choisit ensuite quelle inconnue nous voulons supprimer. C'est comme on veut. Allons pour la suppression de y, c'est le plus simple ici.
On fait une soustraction terme-à-terme : y - y = 0, x - 3x = -2x (normal, c'est ce qu'on voulait) et enfin 2 - (-1) = 2 + 1 = 3.
On obtient donc l'équation suivante :
Que l'on résout pour trouver que :
On a trouvé x, cherchons y.
On va tout simplement remplacer la valeur trouvée de x dans une des équation de notre choix. Remplaçons x par 3/2 dans (L1).
La solution de cette équation est :
On a donc trouvé la solution du système : (3/2; 7/2).
Conclusion : le point d'intersection des droites y = x + 2 et y = 3x - 1 est le point de coordonnées (3/2; 7/2). L'exercice est alors terminé.
On a deux expressions de y, donc on peut égaliser les deux équation :
On continu en résolvant la première équation, puis la deuxième.
2 - Nombres de solutions d'un système linéaire
Un système peut avoir zéro, une ou plusieurs solutions.
Dans le cas où le système a une unique solution, les deux droites de coupent en un point dont les coordonnées sont le couple de solution de ce système.
Si le système a plusieurs solutions, alors les deux droites sont confondues.
Peut-on savoir à l'avance combien de solutions a le système ?
Oui. C'est ce que vous ferez si on vous demande par exemple la nature deux deux droites, si elles sont parallèle sou non. Voici comment on fait.
Propriétés
Nombres de solutions d'un système linéaire
Soit un système suivant de deux équations à deux inconnues.
On calcule les quatités ab' - a'b et bc' - b'c et :
- Si ab' - a'b = 0 et bc' - b'c ≠ 0, alors le système admet aucune solution,
- Si ab' - a'b ≠ 0, alors le système admet une unique solution,
- Si ab' - a'b = 0 et bc' - b'c = 0, alors le système dament une infinité de solutions.
Exemple
Calculons : 2 × 1 - 3 × (-2) = 8 ≠ 0.
Donc, le système admet une unique solution.
Autre exemple
On forme le système suivant :
Que l'on transforme pour avoir la bonne forme.
Puis on utilise la propriété précédente en calculant : (-3) × 1 - 1 × 1 = -4 ≠ 0.
Le système admet une unique solution.
Donc, les droites ne sont pas parallèles.
3 - Changement de variable
Cette partie du cours est surement la plus compliquée. C'est elle qui va clôturée ce chapitre, alors un dernier petit effort et vous pourrez aller tranquillement vous reposer après.
Exemple
Comment on va résoudre tout ça. En faisant ce qu'on appelle un changement de variables.
On va donc poser deux nouvelles variables, x et y, qui seront fonction des anciennes, x et y.
Posons donc :
.
On obtient le système :
Nous savons à présent résoudre ce système.
Je vous laisse le faire, ça sera un bon exercice pour vous.
Voici la solution : (2, -1).
Mais attention, c'est X = 2 et Y = -1.
Comment retrouver x et y ?
En faisant le chemin inverse. On va résoudre les équations suivantes :
On trouve : x = 2 et y = -1.
Conclusion : la solution du système de départ est le couple (2; -1).
Voilà, fini pour ce chapitre. Vous pouvez disposer.