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Triangle et droites remarquables
Cours seconde

Voici un cours sur les droites remarquables du triangles : médiatrice, médiane, hauteur et bissectrice. Vous devez les reconnaître et savoir les tracer.

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Je vous rappelle (encore une fois) que dans un triangle, il existe des droites qui ont une signification mathématiques et qui vont nous aider à faire des calculs sur les triangles, comme par exemple calculer leur aire.
Dans cette partie sur les droites remarquables du triangle, nous allons en étudier : les hauteurs, les médiane, les médiatrices et les bissectrice.

Hauteur

On va commencer par les hauteurs d'un triangle.

Définition

Définition de la hauteur d'un triangle

La hauteur issue d'un sommet d'un triangle est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.

hauteurs d'un triangle


Donc, vous prenez un côté d'un triangle, vous tracer une droite perpendiculaire à ce côté et passant par le sommet opposé. Cette droite est une des hauteurs du triangle. J'ai bien dis une des hauteurs du triangle car un triangle a trois côtés, donc trois hauteurs.

Remarque

Une hauteur peut être située à l'extérieur du triangle.

Remarque importante

Les trois hauteurs du triangle se coupent en un même point appelé l'orthocentre du triangle.

Médiane

Maintenant les médianes d'un triangle.

Définition

Définition de la médiane d'un triangle

La médiane issue d'un sommet d'un triangle est la droite passant par ce sommet et par le milieu du côté opposé.

médianes d'un triangle


Prenez un côté d'un triangle, vous tracer une droite qui passe par le milieu de ce côté et passant par le sommet opposé. Cette droite est une des médianes du triangle. J'ai bien dis une des médianes du triangle car un triangle a trois côtés, donc trois médianes.

Remarque importante

Les trois médianes du triangle se coupent en un même point appelé le centre de gravité du triangle.

Médiatrice

On parlera de la médiatrice d'un segment.

Définition

Définition de la médiatrice d'un triangle

La médiatrice d'un segment est la droite qui passe perpendiculairement en son milieu.

médiatrice d'un segment


Donc, vous prenez un segment, vous tracer une droite qui passe par son milieu et qui y forme un angle droit. Cette droite est la médiatrice de ce segment.

Remarque

Les médiatrices d'un triangle sont les médiatrices de chacun des côtés.

médiatrices d'un triangle

Propriété

Propriété des médiatrices

Si un point est sur la médiatrice d'un segment, il est à égale distance des extrémités de ce segment.
Inversement, si un point est à égale distance des extrémités d'un segment, il appartient à la médiatrice de ce segment.

Propriété des médiatrice


Remarque

Les médiatrices d'un triangle se coupent en un même point, le centre du cercle circonscrit au triangle. Une partie est consacré à ce point dans la fin de ce cours. Patience.

Bissectrice

Vous rappelez-vous de ce qu'est la bissectrice d'un angle ?

Définition

Définition de la bissectrice d'un angle

La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui sépare l'angle en deux angles de même mesure.

bissectrice

Et comment on construit la bissectrice d'un angle ?

Prenons l'angle suivant.

construction bissectrice

Nous allons tracer la bissectrice de cet angle AÔB.
Commençons d'abord par tracer sur chacune de ces demi-droites [OA) et [OB) deux arcs de cercle centrés en O et de même rayon. En fait, vous pointez le compas sur O et vous l'ouvrez autant que vous voulez et faites deux arcs de cercle sur chacune des demi-droites.

construction d'une bissectrice

A partir de ces deux points, on trace à nouveau deux arcs de cercles de même rayon qui se coupent. Donc on pointe le compas sur le premier arc de cercle, on ouvre le compas comme on veut et on trace un arc de cercle. Pareil avec le second.


construction de la bissectrice d'un angle

La bissectrice est obtenue en traçant la droite qui passe par ce dernier point et par le sommet O de l'angle.

bissectrice d'un angle

Je peux donc maintenant vous donner la définition du cercle inscrit à un triangle. Evidemment, vous l'aurez compris, il y a un lien avec les bissectrices. Mais lequel ?

Définition

Cercle inscrit

Dans un triangle, les bissectrices des trois angles se coupent en un même point, qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle. Ce cercle est tangent aux trois côtés du triangle.

cercle inscrit

Le cercle circonscrit à un triangle c'est le cercle à l'extérieur du triangle, et le cercle inscrit à un triangle, c'est celui qui est à l'intérieur. Et comme il est à l'intérieur, son centre est forcément lui aussi, à l'intérieur du triangle.

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