Développement et factorisation

Développement, factorisation et produit de facteur nul
Correction exercice 3ème

Soit A = 144 - (2x + 1)2
  • Développer et réduire A.

    A = 144 - (2x + 1)2
    A = 144 - (4x2 + 4x + 1)

    On a un moins devant la parenthèse, on doit changer les signes à l'intérieur de cette parenthèse.

    A = 144 - 4x2 - 4x - 1
    A = -4x2 - 4x + 143


  • Factoriser A.

    A = 144 - (2x + 1)2

    On remarque que 144 = 122.
    On va donc pouvoir appliquer la formule d'identité remarquable suivante :

    (a2 - b2) = (a - b)(a + b)

    On y va !

    A = 122 - (2x + 1)2
    A = [12 - (2x + 1)](12 + 2x + 1)

    On a un moins devant la première parenthèse, on doit changer les signes à l'intérieur de cette parenthèse.

    A = (12 - 2x - 1)(12 + 2x + 1)
    A = (-2x + 11)(2x + 13)


  • Calculer A pour x = -3 et pour x = 5/3.

    On reprend la forme développé et réduite de l'expression de A.

    Pour x = -3 :

    A(-3) = -4 × (-3)2 - 4 × (-3) + 143
    A(-3) = -4 × 9 + 12 + 143
    A(-3) = -36 + 12 + 143
    A(-3) = 119


    Pour x = 5/3 :

    A(1/2) = -4 × (5/3)2 - 4 × (5/3) - 143
    A(1/2) = -4 × (25/9) - 20/3 - 143
    A(1/2) = -100/9 - 20/3 - 143
    A(1/2) = (-100 - 60 - 1287)/9
    A(1/2) = 1447/9


  • Résoudre A = 0.

    On reprend la forme factorisée de l'expression de A.

    A = (-2x + 11)(2x + 13)

    Un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.

    Donc :

    -2x + 11 <=> -2x = -11 <=> x = -11/-2 <=> x = 11/2

    OU :
    2x + 13 = 0 <=> 2x = -13 <=> x = -13/2

    Donc : S = {11/2 ; -13/2}.


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