Trigonométrie

Trois méthodes différentes pour résoudre une équation trigonométrique
Correction exercice première S

On se propose de résoudre l'équation (E) d'inconnue x ∈ [0; π/2] suivante : cos x + sin x = √2.
  • Donner la solution évidente de (E).

    Les solutions évidentes de (E) sont : x = π/4.


  • Première méthode :
    Diviser chaque membre de l'équation (E) par √2 puis transformer le premier membre de l'équation.

    équation sinus cosinus




    Or, on sait que :

    équation sinus cosinus


    Donc :

    équation sinus cosinus


    D'après la formule trigonométrique : cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b, on a :

    équation sinus cosinus


    De plus, on sait très bien que : cos 0 = 1.
    Donc :

    cos (π/4 - x) = cos 0 = 1


    D'où :

    (π/4) - x = 0 ⇔ x = π/4


    On retrouve bien le résultat prévu de la première question.


  • Deuxième méthode :
    Poser X = cos x et Y = sin x.
    En ajoutant une équation supplémentaire toujours vérifiée par X et Y, former un système de deux équations à deux inconnues que l'on résoudra.

    On a :

    systeme


    Elevons au carré la première équation trigonométrique.

    résolution d'un systeme


    On insère la première équation dans la seconde pour obtenir, après calculs, le polynôme suivant : 4Y4 - 4Y² + 1 = 0.
    En effectuant le changement de variable Z = Y², on obtient que : Z = 1/2 et donc que Y = 1/√2. D'où :

    solutions du systeme


    Donc :

    solution cosinus et sinus


    Ce qui veut dire que : x = π/4.
    On retrouve encore une fois le résultat de la question 1.


  • Troisième méthode :
    En développant (cos x + sin x)², justifier que sur [0; π/2], l'équation (E) équivaut à l'équation suivante que l'on résoudra : sin(2x) = 1.

    On a :

    cos x + sin x = √2 ⇔ (cos x + sin x)² = 2 ⇔ cos² x + sin² x + 2sin x cos x = 2


    Comme cos² x + sin² x = 1,

    1 + 2sin x cos x = 2 ⇔ 2sin x cos x = 1


    De plus, 2sin x cos x = sin(2x).
    Donc, résoudre l'équation (E) revient à résoudre l'équation suivante :

    sin(2x) = 1


    Que l'on résous aisément en sachant que sin (π/2) = 1.

    sin(2x) = sin (π/2) = 1


    Donc :

    2x = π/2 ⇔ x = π/4


    Encore une fois, on confirme bien la réponse de la question 1.


    Quelle méthode préférez - vous ?
    Il faut quand même que vous sachiez faire les trois !


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