Calcul intégral

Asymptote, position relative et aire
Correction exercice terminale ES

Soit un repère orthonormé d'unité 2cm. On considère la fonction f définie sur R par :

f(x) = 2 x + 1 - xe-x²

  • Démontrer que la courbe représentative de la fonction f admet la droite (D), d'équation y = 2x + 1, comme asymptote au voisinage de +∞. Etudier la position relative des deux courbes.

    Calculons la limite suivante :



    De là, on en déduit que Cf admet bien la droite (D) d'équation y = 2x + 1, comme asymptote au voisinage de +∞.

    Etudions la position relative de la fonction f par rapport à son asymptote.

    Pour tout réel x, on a :

    f(x) - (2x + 1) = -xe-x²


    De plus, on sait qu'une exponentielle est toujours positive, donc :

    e-x² > 0


    Donc, pour tout x > 0 :

    f(x) - (2x + 1) = -xe-x² < 0


    Et pour tout x < 0 :

    f(x) - (2x + 1) = -xe-x² > 0


    Conclusion : sur ]0; +∞[, Cf est en-dessous de (D) et sur ]-∞; 0[, Cf est au-dessus de (D).


  • Soit α > 0. On note A(α) l'aire du domaine délimité par les droites d'équation x = 0, x = α, et les courbes d'équation y = f(x) et y = 2x + 1.
    Calculer A(α) en fonction de α puis déterminer la limite de A(α) quand α tend vers +∞.

    On vient de voir que sur ]0; +∞[, Cf est en-dessous de (D).
    Donc, l'aire du domaine recherché est :



    On calcule cette intégrale de la façon suivante :



    Finalement, l'aire en cm² est :

    A(α) = 2 - 2e-α²


    Calculons la limite en l'infini.
    On sait que :



    Donc :


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