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Equations du second degré
Cours première ES

Vous connaissez les équations du premier degré. Maintenant, vous aller apprendre à résoudre des équations du second degré en utilisant le discriminant.

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Les polynômes peuvent être présent dans des équations.

Théorème

Equations du second degré

Soit l'équation ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0 et Δ = b² - 4ac le discriminant de ax² + bx + c.
  • Si Δ < 0, alors l'équation n'admet pas de solution réelle.

  • Si Δ = 0, alors l'équation admet une unique solution : équation du second degré.

  • Si Δ > 0, alors l'équation admet deux solutions distinctes : solution d'une équation du second degré.

A quoi va nous servir ce discriminant ?

Le discriminant vous servira pour déterminer les racines d'un polynôme du second degré. Un fois que vous les avez trouvé, vous pourrez donc factoriser ce polynôme par (x - ), avec les racines trouvées. Vous pourrez alors résoudre l'équation.

Appliquons ce théorème sur un exemple pour mieux comprendre de quoi il s'agit.

Exemple

On vous demande de résoudre l'équation suivante :

x² - 3x + 1 = 0


Calculons le discriminant :

Δ = (-3)² - 4 × 1 × 1 = 9 - 4 = 5 > 0


Donc le polynôme x² - 3x + 1 a deux racines distinctes :

solution d'une équation second degré


La valeur de √5 n'est pas exact, on laisse donc la racine telle quelle. Par contre, on calcule le reste :

second degré


Donc l'équation a deux solutions : x1 et x2.

Remarque

Comme je l'ai dit plus haut, les racines trouvées grâce au discriminant peuvent nous aider à factoriser un polynôme.
Si on nous avait demander de factoriser le polynôme P(x) = x² - 3x + 1, on aurait eut :

factoriser un polynôme


La formule exacte serait :

ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2)


Parfois même, on peut réussir à trouver les racines dites évidente d'un coup d'oeil (uniquement si elles sont très simple, comme 1 ou 0 par exemple).

Exemple

Les racines de P(x) = x² + x - 2 sont 1 et -2 car :
P(1) = 1² + 1 - 2 = 0
P(-2) = (-2)² + (-2) - 2 = 4 - 2 - 2 = 0

Donc, on peut factoriser facilement P : P(x) = (x - 1)(x + 2).

Equations du second degré : 4/5 (4 avis)
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