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Forme canonique d'un polynôme du second degré
Cours première ES

Dans ce cours, je vous démontre la propriété de la forme canonique d'un polynôme du second degré, et vous donne la formule à connaître.

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Et alors ? Je vais vous montrer comment trouver la forme canonique d'une expression. Suivez bien mon raisonnement, il est important que vous le compreniez.

On part du polynôme P:

P(x) = ax² + bx + c


On factorise ce polynôme par a.

Par a? Mais il n'est pas en facteur partout ! Comment je fais ?

Là où le a n'est pas en facteur apparant, vous diviserez par a tout simplement. Regardez :

polynôme du second degré


Vous voyez bien qu'en développant on retombe sur l'expression du départ.
Continuons. On ne va se préoccuper que de la partie second degré en factorisant à l'aide d'une identité remarquable a² + 2ab + b² = (a + b)² comme ceci :

forme canonique d'un polynôme


On doit enlever forme canonique car :

démonstration forme canonique


Et nous nous ne voulons que polynôme. Donc la meilleure des choses à faire, c'est d'enlever second degré en 1ère ES.
Ce qui nous donne :



Mettons sous le même dénominateur les deux dernière fractions.

méthode du discriminant


On note Δ la quantité ,

Δ = b² - 4ac


Et on a fini :

forme canonique d'un polynôme du second degré


Résumons tout ça.

Propriété

Forme canonique d'un polynôme

Soit P(x) = ax² + bx + c un polynôme du second degré avec a ≠ 0.
On appelle forme canonique de P :

formule de la forme canonique


Avec Δ le discriminant de P :

Δ = b² - 4ac


Exemple

Soit le polynôme P(x) = x² + 2x - 1. Donner sa forme canonique.
On a donc ici : a = 1, b = 2 et c = -1.
On applique tout bêtement la formule :
On a :

Δ = 2² - 4 × 1 × (-1) = 8


Calculons donc la forme canonique.



On a terminé.

Bien évidemment, on pourrez vous demandez de refaire le raisonnement précédent.

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