Géométrie plane

Déterminer une équation cartésienne d'une droite
Cours première S

Déterminer une équation cartésienne d'une droite, ce n'est pas si simple. Je vous montre comment faire, avec un point et un vecteur directeur d'une droite.

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Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A(2; -1) et de vecteur directeur vecteur u(-3; 4).

Donner la forme d'une équation de droite

D'après le cours (que l'on connait par coeur évidemment), on sait qu'une équation cartésienne de droite est de la forme : ax + by + c = 0.

Déterminer un vecteur directeur de la droite

Pour obtenir un vecteur directeur de la droite, plusieurs façons possibles :

  • Soit il est donné dans l'énoncé.
  • Soit on donne deux points A et B appartenant à (d), vecteur AB est alors un vecteur directeur de (d).
  • Soit on donne une droite parallèle à la droite (d) de vecteur directeur connu. Un vecteur directeur de (d) est égal au vecteur directeur de la droite parallèle.

Là, on a de la chance, l'énoncé nous donne le vecteur directeur. En effet, la droite a pour vecteur directeur vecteur u(-3; 4).

Déterminer les valeurs de a et b de l'équation de la droite

On sait que si vecteur u(-b; a) est un vecteur directeur la droite (d), alors (d) admet une équation de la forme ax + by + c = 0.

On détermine donc les valeurs de a et de b.

On sait que (d) a une équation de la forme ax + by + c = 0.

Or vecteur u(-3; 4) est un vecteur directeur de (d).

On peut choisir a et b tels que :

-b = -3
a = 4

b = 3
a = 4

Ainsi (d) admet une équation cartésienne comme suit : 4x + 3y + c = 0.

Donner les coordonnées d'un point de la droite

Avec l'énoncé, on a les coordonnées d'un point A(xA; yA) de la droite (d).

Le point A(2; -1) appartient à la droite (d).

Déterminer la valeur de c

Il ne reste plus qu'à déterminer c.

On sait que le point A(xA; yA) appartient à la droite (d). Ses coordonnées vérifient donc les équations de (d).

On remplace donc dans l'équation précédente de la droite :

axA + byA + c = 0

On connaît a, b, xA et yA, on peut donc déterminer c.

La droite (d) passe par le point A(2; -1). Donc les coordonnées de A vérifient l'équation précédente de (d).

Ainsi :

4xA + 3yA + c = 0

4 × 2 + 3 × (-1) + c = 0

3 + c = 0

c = -5

Conclusion

En remplaçant les valeurs trouvées de a, b et c, on obtient une équation cartésienne de (d) :

4x + 3y - 5 = 0.

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