Géométrie plane

Déterminer la position relative de deux droites
Cours première S

Savez-vous déterminer la position relative de deux droites ? En utilisant les équations de ces droites, je vous apprend comment le faire très facilement dans ce cours méthode.

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Soient les deux droites suivantes :

  • (d) : 2x - y + 1 = 0
  • (d') : -x + 12y + 3 = 0

Etudier la position relative de (d) et de (d').

Rappeler la propriété du cours

On commence toujours par donner la propriété du cours : deux droites peuvent être parallèles ou sécantes.

  • Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
  • Deux droites sont sécantes si elles ont un seul point commun.
  • Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Sinon, elles sont sécantes en un point.

Déterminer un vecteur directeur de chaque droite

On détermine donc un vecteur directeur des droites (d) et (d').

Pour cela, il exsite différentes manières de procéder, à savoir :

  • Soit le vecteur directeur est donné dans l'énoncé de l'exercice.
  • Soit on donne deux points A et B appartenant à (d), vecteur AB est alors un vecteur directeur de (d).
  • Soit on donne une droite parallèle à la droite (d) de vecteur directeur connu. Un vecteur directeur de (d) est égal au vecteur directeur de la droite parallèle.

L'équation de la droite (d) est 2x - y + 1 = 0.
Donc, un vecteur directeur de cette droite est par exemple vecteur u(1; 2).

Une équation de (d') est -x + 12y + 3 = 0.
Un vecteur directeur de (d') est donc par exemple vecteur v(-1/2; -1).

Etudier la colinéarité des vecteurs

Considérons que les vecteurs directeurs que l'on a trouvé précédemment sont vecteur u(x; y) et vecteur v(x'; y').

Ces deux vecteurs sont colinéaires si et seulment si xy' - x'y = 0.

Déterminons donc si vecteur u et vecteur v sont colinéaires. Calculons :

1 × (-1) - 2 × (-1/2) = -1 + 1 = 0

Du coup, les vecteurs vecteur u et vecteur v sont bien colinéaires.

Conclure

Comme les vecteurs directeurs des deux droites sont colinéaires, ces dernières sont parallèles. Mais elles sont peut-être confondues. Pour le savoir, on vérifie si elles ont un point commun. On détermine un point de (d) et on regarde s'il appartient à (d').

Posons x = 0 dans l'expression de (d) :

2 × 0 - y + 1 = 0

y = 1

Le point A(0; 1) appartient donc à la droite (d).

On détermine si le point A appartient également à la droite (d') en remplaçant x et y par les coordonnées de A dans l'équation donnée de (d') :

-0 + 1/2 × 1 + 3 = 7/2 ≠ 0

Le point A n'appartient pas donc à (d').

Les droites (d) et (d') sont donc strictement parallèles.

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