Géométrie plane

Représenter une droite dans un repère
Cours première S

Voici un cours méthode dans lequel je vous apprend à représenter une droite dans un repère, avec trois méthodes différentes.

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Méthode 1 : Si on connaît l'équation réduite de la droite

Tracer la droite (d) d'équation réduite y = -4x + 6 dans un repère.

Rappeler l'équation de la droite

L'équation réduite de (d) est : y = -4x + 6.

Placer l'ordonnée à l'origine

Pour obtenir l'ordonnée à l'origine, on pose x = 0.
On obtient y = a × 0 + b = b.

On place donc le point (0; b).

On remplace x par 0 dans l'équation réduite de (d).

On obtient y = -4 × 0 + 6.

On place donc le point A(0; 6).

Représenter une droite dans un repère

Utiliser le coefficient directeur pour placer un second point

On sait que le coefficient directeur de la droite (d) vaut a.

Donc, lorsque l'on se déplace de 1 unité vers la droite sur l'axe des abscisses à partir d'un point de (d), on doit se déplacer de a verticalement pour placer un autre point de (d).

En partant du point obtenu à partir de l'ordonnée à l'origine, on peut ainsi placer un deuxième point.

Le coefficient directeur de (d) est égal à -4.

Donc lorsque l'on se déplace de 1 unité vers la droite sur l'axe des abscisses à partir d'un point de la droite, on doit se déplacer de 4 vers le bas afin de retomber sur un point de la droite. Ce qui donne sur le graphique :

Représenter une droite dans un graphique

Tracer la droite

On relie les deux points trouvés. On obtient la représentation de la droite (d).

Représenter une droite dans un repère

Méthode 2 : Si on connaît une équation cartésienne de la droite

Lorsque l'on connaît une équation cartésienne de la droite, il suffit, pour la représenter, de déterminer les coordonnées de deux points de cette droite et de les relier.

Tracer la droite (d) d'équation cartésienne 2x + 3y - 1 = 0 dans un repère orthonormé.

Rappeler une équation de la droite

Une équation cartésienne de (d) est 2x + 3y - 1 = 0.

Déterminer les coordonnées d'un point de la droite

On choisit une valeur simple pour x. On la remplace dans l'équation cartésienne de la droite (d). On obtient la valeur de y correspondante.

On place le point (x; y) obtenu.

On pose x = 2.

On obtient :

2 × 2 + 3y - 1 = 0

3y = -3

y = -1

Plaçons le point (2; -1).

Représenter une droite dans un repère

Déterminer les coordonnées d'un second point de la droite

On choisit une valeur x différente de la précédente. On la remplace dans l'expression de l'équation cartésienne de (d). On obtient la valeur de y correspondante.

On place le point obtenu.

On pose x = -1.

On obtient :

2 × (-1) + 3y - 1 = 0

3y = 3

y = 1

Plaçons le point (-1; 1).

Représenter une droite dans un repère

Tracer la droite

On relie les deux points trouvés. On obtient la représentation de la droite (d).

Représenter une droite dans un repère

Méthode 3 : Si on connaît un point et un vecteur directeur de la droite

Pour représenter une droite lorsque l'on connaît un point et un vecteur directeur, il suffit de placer le point connu et de placer un second point grâce au vecteur directeur.

Tracer la droite (d) passant par le point A(1; -3) et de vecteur directeur vecteur u(-2; 3) dans un repère.

Rappeler le point et le vecteur directeur

A(1; -3) appartient à la droite et un vecteur directeur de la droite est vecteur u(-2; 3).

Placer le point

On place le point A(1; -3).

Représenter une droite dans un repère

Utiliser le vecteur directeur pour placer un deuxième point

On sait qu'un vecteur directeur de la droite est vecteur u(a; b).

On en déduit que, ∀ k ? Z, les points de coordonnées (x + ka; y+kb) appartiennent à la droite (d).

On pose k = 1 et on place le point B(x + a; y + b).

On sait que le vecteur directeur de la droite vaut vecteur u(-2; 3).

On en déduit que, ∀ k ? Z, les points de coordonnées (1 + k × (-2); -3 + k × 3) appartiennent à la droite (d).

En particulier, pour k = 1, le point B(1 - 2; -3 + 3), soit B(-1; 0), appartient à (d). On place B.

Représenter une droite dans un repère

Tracer la droite

On relie les deux points trouvés. On obtient la représentation de la droite (d).

Représenter une droite dans un repère

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