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Fonction concave
Cours terminale ES

Définition et propriétés sur les fonctions concaves pour être prêt pour le bac. Comment montre-t-on qu'une fonction est concave, vous apprendrez tout cela dans cette partie du cours sur la convexité.

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On passe à présent aux fonction concaves. Vous l'aurez compris je pense, c'est la même chose mais à l'envers on va dire.

Définition

Fonction concave

Une fonction est concave sur un intervalle I si sa courbe représentative est intégralement située en-dessous de chacune de ses tangentes sur I.

fonction concave

Là aussi, la figure explique tout.
Je vous donne un exemple.

Exemple
La fonction racine carrée f(x) = √x est une fonction concave.


fonction racine carree

Encore une fois : comment démontre-t-on qu'une fonction est concave ? Avec les dérivées aussi ?

Oui, encore avec les dérivées.

Propriétés

Propriétés des fonctions concaves

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
  • La fonction f est concave sur I si et seulement si sa dérivée f' est décroissante sur I.
  • La fonction f est concave sur I si et seulement si sa dérivée seconde f'' est négative sur I.

Pour savoir si une fonction est concave, il faut donc calculer sa dérivée première et, si celle-ci est décroissante, autrement dit si la dérivée de cette dérivée (la dérivée seconde donc) est négative, la fonction est concave sur l'intervalle donné.

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