Et si on cumule les deux notions de convexité, fonction convexe et fonction concave, on obtient un point d'inflexion. Définition et propriété sur le point d'inflexion, voilà le programme de cette partie.
Et si on mélangeait les deux notions de fonctions convexe et concave ? On obtiendrai un point d'inflexion ! Je donne la définition tout de suite.
Définition
Point d'inflexion
La courbe représentative d'une fonction admet un point d'inflexion si la fonction change de convexité en ce point.
En gros, si une fonction est concave jusqu'au point A(xA; yA) puis convexe, le point A est un point d'inflexion.
Pareil pour l'inverse.
Remarque
Graphiquement, un point d'inflexion est un point où la courbe représentative traverse sa tangente.
Exemple
La fonction cube f(x) = x3 possède l'origine comme point d'inflexion.
Et comment on démontre un point d'inflexion ?
Définition
Propriété des points d'inflexion
Soit f une fonction dérivable deux fois sur l'intervalle I.La courbe représentative de f admet un point d'inflexion en A (a; f(a)) si et seulement si sa dérivée seconde f '' s'annule en a en changeant de signe.
Attention
Si la dérivée seconde s'annule en a sans changer de signe, ce n'est pas un point d'inflexion ! Ne vous trompez pas.
Pour montrer qu'un point est un point d'inflexion, il faut donc la dérivée seconde et montrer qu'elle s'annule en ce point en changeant de signe.