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Probabilité : conditionnement et indépendance

Sudoku et probabilités
Correction exercice terminale S

Amateur de sudoku, Hadrien s’entraîne très souvent. Il adore ce jeu.

50% des grilles de sudoku qui y sont proposées sont de niveau facile, 30% sont de niveau moyen et 20% de niveau difficile.

Hadrien sait qu’il réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 80% des cas, les grilles de sudoku de niveau moyen dans 50% des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 25% des cas.

Une grille de sudoku lui est proposée de façon aléatoire.

Pour cet exercice, on considèrera les événements suivants :

- F : « la grille est de niveau facile »,
- M : « la grille est de niveau moyen »,
- D : « la grille est de niveau difficile »,
- R : « Hadrien réussit la grille » et R son événement contraire.
  • Construire un arbre pondéré résumant la situation de l'énoncé.

    On peut, grâce aux données de l'énoncé, construire l'arbre pondéré représentant la situation :



  • Calculer la probabilité que la grille proposée soit facile et que Hadrien la réussisse.

    On cherche P(F ∩ R).

    D'après l'arbre pondéré de la question précédente, on trouve :

    P(F ∩ R) = P(F) × PF(R)
    P(F ∩ R) = 0,5 × 0,8 = 0,4


    La probabilité que la grille proposée soit facile et que Hadrien la réussisse est égale à 0,4.


  • Calculer la probabilité que la grille proposée soit difficile et que Hadrien ne la réussisse pas.

    On cherche P(D ∩ R).

    D'après l'arbre pondéré de la question précédente, on trouve :

    P(D ∩ R) = P(D) × PD(R)
    P(D ∩ R) = 0,20 × 0,75 = 0,15


    La probabilité que la grille proposée soit difficile et que Hadrien ne la réussisse pas est égale à 0,15.


  • Montrer que la probabilité que Hadrien réussisse la grille proposée est égale à 0,6.

    On cherche en réalité P(R).

    D'après l'arbre pondéré de la question précédente, on trouve trois chemins pour arriver à R :

    - P(F ∩ R) = 0,5 ×, 0,8 = 0,4
    - P(M ∩ R) = 0,3 ×, 0,5 = 0,15
    - P(D ∩ R) = 0,2 ×, 0,25 = 0,05


    Il suffit maintenant d'additionner ces probabilités :

    P(R) = P(F ∩ R) + P(M ∩ R) + P(D ∩ R)
    P(R) = 0,4 + 0,15 + 0,05
    P(R) = 0,6


    La probabilité que Hadrien réussisse la grille proposée est en effet égale à 0,6.


  • Sachant que Hadrien n’a pas réussi la grille proposée, quelle est la probabilité que ce soit une grille de niveau facile ?

    On cherche PR(F).

    Or, si on connait son cours, on sait que :

    PR(F) = P(R ∩ F)
    P(R)


    Calculons P(R ∩ F) :

    P(R ∩ F) = 0,5 ×, 0,2 = 0,1


    Calculons à présent P(R) comme suit :

    P(R) + P(R) = 1
    P(R) = 1 - P(R)
    P(W) = 1 - 0,6
    P(W) = 0,4


    Maintenant, on peut appliquer la première formule pour calculer PR(F).

    PR(F) = 0,1
    0,4

    PR(F) = 0,25


    Sachant que Hadrien n’a pas réussi la grille proposée, la probabilité que ce soit une grille de niveau facile est égale à 0,25.


  • Hadrien a réussi la grille proposée. Son ami Jean pense que sa grille était facile.
    Dans quelle mesure a-t-il raison ? Justifier.

    On cherche PR(F).

    Or, si on connait son cours, on sait que :

    PR(F) = P(R ∩ F)
    P(R)


    On a toutes les données (grâce aux questions précédentes) pour effectuer ce calcul :

    PR(F) = 0,4
    0,6

    PR(F) = 0,67


    Sachant que Hadrien a réussi la grille proposée, la probabilité que ce soit une grille de niveau facile est égale à 0,67.
    Donc, son ami Jean a 67% de chance d'avoir raison.


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