Fonction logarithme

Démonstration d'une limite de fonction et logarithme
Correction exercice terminale S

On pose, pour tout x ∈ ]0;+∞[ :

f(x) = 2√x - ln(x)

  • Montrer que f admet un minimum en x = 1.

    La fonction f est dérivable sur ensemble des réels*+.
    Dérivons la :

    calcul d'une dérivée


    La dérivée s'annule pour x = 1.

    Déterminons à présent s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.
    Pour x > 1, on a une dérivée positive et donc une fonction strictement croissante.
    Pour 0 < x < 1, la dérivée est négative et donc la fonction est strictement décroissante.

    Conclusion : la fonction f admet un minimum en x = 1.


  • En déduire que si x ≥ 1, alors 0 ≤ ln x ≤ 2 √x.

    On sait que le minimum de la fonction f est atteint pour x = 1 et donc que f (1) = 2.
    Donc, la fonction f est strictement positive car sa valeur minimale est 2.

    D'où :

    f(x) > 0

    ⇔ 2√x - ln(x) > 0

    ⇔ 2√x > ln(x)


    Et si x ≥ 1,

    0 ≤ ln(x) ≤ 2√x


  • En déduire la limite suivante : limite de fonction logarithme.

    Utilisons encore une fois la question précédente : si x ≥ 1, alors 0 ≤ ln(x) ≤ 2√x.
    Divisons tous les termes par x :

    encadrement et logarithmes


    Or,

    limite de logarithme


    Donc, d'après le théorème des gendarmes :

    limite d'une fonction avec des logarithme


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