Fonction logarithme

Etude d'une fonction logarithmique
Correction exercice terminale S

Soit la fonction f définie par :

exercice fonction logarithmique

On désigne par (C) est la courbe représentative de la fonction f.
  • Quel est l'ensemble de définition de la fonction f ?

    Il faut nécessairement que ce que "mange" le ln soit strictement positif.
    Soit : (x - 1)/x > 0 ⇔ x ∈ ]-∞; 0[U]1; +∞[

    Donc : Df = ]-∞; 0[U]1; +∞[.


  • Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de ce domaine de définition.

    • Limite en ±∞ :

      limite d'un logarithme


      Or, d'après le théorème de la limite d'une fonction composée, on sait que :

      limite d'une fonction logarithme


      Donc :

      limite et logarithme


      De plus,

      limite d'une fonction avec des logarithmes


      Donc :

      logarithme et limites



    • Limite en 0- :

      limite d'une fonction logarithme


      Or, d'après le théorème de la limite d'une fonction composée, on sait que :

      limite d'un logarithme


      Donc :

      limite d'une fonction avec des logarithmes


      De plus,

      limite et logarithme


      Donc :

      logarithme et limites



    • Limite en 1+ :

      limite d'une fonction logarithme


      Or, d'après le théorème de la limite d'une fonction composée, on sait que :

      limite et logarithme


      Donc :

      limite d'un logarithme


      De plus,

      logarithme


      Donc :

      limite d'une fonction avec des logarithmes



  • En déduire la présence de deux asymptotes à (C).

    Grâce aux limites qui tendent vers l'infini quand x tend vers 0 et 1, on en déduit que les droites d'équations x = 0 et x = 1 sont asymptotes verticales à (C).


  • Montrer que (C) admet une asymptote oblique (D) quand x tend vers ±∞. Donner une équation cartésienne de cette droite (D) pui étudier la position relative de cette droite et de la courbe (C).

    On a :



    On a donc une asymptote oblique de (C) au voisinage de ±∞.
    Posons g(x) = ln(1 - 1/x).

    limite d'une fonction


    On peut dont écrire : f(x) = -x/2 + g(x).
    L'asymptote oblique (D) a pour équation : y = -x/2.

    La position relative des droites (C) et (D) s'obtient en étudiant le signe de g(x), la différence des deux.
    • Si x ∈ ]-∞; 0[, alors 1 - 1/x > 1 et donc g(x) > 0. D'où : (C) est au dessus de (D).
    • Si x ∈ ]1; +∞[, alors 1 - 1/x < 1 et donc g(x) < 0. D'où : (C) est en dessous de (D).


  • Déterminer la dérivée de la fonction f.

    On vérifie toujours la décidabilité avant de calculer une dérivée.
    Là, c'est bon. Calculons la donc.

    dérivée d'une fonction


    Si vous avez encore du mal à faire ce genre de calcul, revoyez l'exercice sur le sujet.


  • Déterminer le signe de la dérivée de la fonction f.

    Dans l'intervalle de définition, le dénominateur de la dérivée de la fonction f est toujours strictement positif : 2x(x - 1) > 0.

    Donc, le signe de cette dérivée est celui de son numérateur qui est un polynôme du second degré, de racines -1 et 2.

    • Si x ∈ ]-∞; -1[U]2; +∞[, alors f' (x) < 0.
    • Si x ∈ ]-1; 0[U]1; 2[, alors f' (x) > 0.

    De plus, f'(1) = f'(2) = 0.


  • Déterminer les variations de la fonction f.

    D'après la question précédente : la fonction f est strictement décroissante sur ]-∞; -1[U]2; +∞[ et strictement croissante sur ]-1; 0[U]1; 2[.


  • Dresser le tableau de variations de la fonction f.

    Vous savez faire (je crois). Vous avez toutes les informations nécessaires et suffisantes en tous les cas.


  • Tracer la courbe (C) ainsi que ses asymptote et son centre de symétrie.

    J'ai perdu mon crayon. Désolé.


Etude d'une fonction logarithmique : 5/5 (1 avis)
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