Fonction logarithme

Etude d'une fonction logarithmique - Tangente et position relative
Correction exercice terminale S

Soit la fonction f définie par :

étude d'une fonction logarithmique

  • Quel est l'ensemble de définition de la fonction f ?

    Il faut nécessairement que ce que "mange" le ln soit strictement positif.
    Soit : x/(2 - x) > 0 ⇔ 0 < x < 2
    Donc : Df = ]0; 2[.


  • Calculer la dérivée de la fonction f.

    La fonction f est dérivable sur son ensemble de définition et sa dérivée vaut :

    dérivée d'une fonction logarithme


  • Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 1.

    D'abord, es-ce que cette tangente existe ? Oui, car la fonction f est dérivable en 1.
    L'équation de la tangente (T) à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 1 a pour équation :

    y = f'(1) × (x - 1) + f(1)

    y = 2x - 2


  • Etudier la position relative de la courbe représentative de la fonction f et de la droite (T).

    Posons, pour tout x ∈ Df, la fonction g(x) = f(x) - y = f(x) - y.

    Le signe de cette fonction va nous aider à répondre à la question.

    Calculons sa dérivée.

    dérivée d'un logarithme


    Pour tout x ∈ Df et différent de 1, g' (x) > 0. La fonction g est strictement croissante sur Df.

    Comme (T) est la tangente à (C) au point d'abscisse 1, on a : g(1) = 0.

    Si 0 < x < 1, alors g(x) < 0 et si 1 < x < 2 alors g(x) > 0.

    Conclusion :
    • Sur ]0; 1[, la courbe (C) est en dessous de la droite (T).
    • Sur ]1; 2[, la courbe (C) est au dessus de la droite (T).


Donnez votre avis sur cet exercice.

Identifie-toi pour voir plus de contenu.

Progresse encore plus vite en maths et accéde en illimité aux cours en ligne, exercices corrigés, annales de Bac et Brevet et bien plus. En savoir plus

Inscription gratuite
Connexion