Fonction logarithme

Résolution d'équation avec des logarithmes
Correction exercice terminale S

Résoudre les équations suivantes :
  • ln(1 + x) = ln(1 - 2x)

    ln(1 + x) = ln(1 - 2x)

    ⇔ 1 + x = 1 - 2x

    x = 0


  • ln(3 + x) + ln(3 - x) = ln5

    Il faut nécessairement que 3 + x > 0 et 3 - x > 0, c'est-à-dire que x > 3.

    ln(3 + x) + ln(3 - x) = ln5

    ⇔ ln[(3 + x)(3 - x)] = ln5

    ⇔ ln(x² - 9) = ln5

    x² - 9 = 5

    x = √14


  • ln(3 + x) - ln(x + 13) + ln(x + 1) = 0

    Il faut nécessairement que x + 1 > 0, que 3 + x > 0 et que x + 13 > 0.
    Autrement dit, l'ensemble de définition de l'équation est : ]-1; +∞[.

    équation avec des logarithmes


    Or, -5 < -1 et 2 > -1. Il n'y a que la solution 2 qui est dans l'ensemble de définition.

    Conclusion : x = 2 est l'unique solution de l'équation.

    Remarque : vous voyez bien l'utilité de trouver le domaine de définition.


  • 2ln³(x) + 5ln²(x) + ln(x) - 2 = 0

    Exemple un tout petit peu plus difficile.

    L'équation est définie pour x > 0.

    On remarque très vite qu'un ressemble à une équation polynomiale.

    Posons donc : X = ln x.
    L'équation devient : 2X³ + 5X² + X - 2 = 0.

    En cherchant une racine évidente (rapidement, de tête), on remarque que -1 en est une.
    Factorisons donc ce polynôme par -1 :

    2X³ + 5X² + X - 2 = 0 ⇔ (X + 1)(2X² + 3X - 2) = 0


    Le discriminant du polynôme 2X² + 3X - 2 vaut : Δ = 25.
    Ces racines sont donc les suivantes :

    racines d'un polynome

    Revenons à l'équation polynomiale du départ.

    2X³ + 5X² + X - 2 = 0 ⇔ (X = -1 ou X = 1/2 ou X = -2)

    En revenant aux ln :

    ln(x) = -2 ou ln(x) = -1 ou ln(x) = 1/2


    Ce qui équivaut à :

    x = 1/e² ou x = 1/e ou x = √e


    Conclusion : S = {1/e²; x = 1/e; √e}


Résolution d'équation avec des logarithmes : 5/5 (4 avis)
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