Cercle circonscrit au triangle rectangle

Cours 4ème

Plusieurs propriétés importantes dans cette partie sur le cercle circonscrit au triangle rectangle.
Déjà, rappelons-nous qu'un cercle circonscrit à un triangle, c'est le cercle qui passe par les trois sommets du triangle.

Je commence par le théorème de la médiane.

Théorème

Théorème de la médiane

Dans un triangle rectangle, la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse.

Réciproquement, si la médiane issue d'un sommet d'un triangle mesure la moitié du côté opposé, alors ce triangle est un triangle rectangle.

Pas besoin d'exemple sur ce théorème, il est très clair. Passons à la conséquence directe.

Propriété

Cercle circonscrit au triangle rectangle

Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour centre le milieu de l'hypoténuse et donc pour diamètre l'hypoténuse.

Réciproquement, si l'un des côtés d'un triangle est le diamètre d'un cercle et que son troisième sommet est sur ce même cercle, alors le triangle est rectangle.

Cette propriété ce comprend facilement car, dans la figure précédente, les segment [IA], [IB] et [IC] sont en fait des rayons du cercle circonscrit au triangle ABC.

C'est une propriété très intéressante. En effet, prenez un cercle. Alors son diamètre forme un triangle rectangle avec n'importe quel point de ce cercle.

Exemple

Soit un cercle de centre O et de diamètre [AB]. Soit un point C sur ce cercle.


Le triangle ABC est rectangle en C et son hypoténuse est le diamètre [AB] du cercle.
Et donc, la médiane issue de C vaut la moitié du segment [AB] car les segments [OA], [OB] et [OC] sont des rayons du cercle circonscrit.