Continuité et limite

Continuité et limite

Nous entamons à présent le programme de Terminale Economique et Sociale. Cette année c'est le bac ! Alors Concentrez-vous bien sur chacun des chapitre et tacher de tout retenir.
Nous avions déjà abordé la notion de fonction l'an passé. Rajoutons-y celle de limite. C'est en fait ce vers quoi tend la fonction quand sa variable est très grande (ou très petite).

Profiter de l'essai à 1€

Ce cours de maths Continuité et limite se décompose en 7 parties.

  • 1. Continuité

    Nous commencerons par la continuité. C'est quelque chose de très important en mathématiques, surtout si vous voulez continuer dans cette science après le bac.

    Définition

    Continuité Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un élément de cet intervalle I.
    On dit que f est continue en un point a si :

    définition de la continuité d'une fonction

    Je suppose que cette définition est un peu obscure pour vous. Je vais vous la traduire.
    On prend tout d'abord une fonction f sur un intervalle I donné.
    Si, quand on trace la fonction, on ne lève pas le crayon, la fonction est continu.
    Si à un moment, à un point a par exemple, la fonction se "coupe", alors elle n'est pas continue.

    Exemple

    La fonction carrée f(x) = x² est continue sur ensemble des réels.

    Théorème

    Théorème des fonctions continues Toute fonction construite par composition ou opération à partir de fonctions polynômes est continue.

    Exemple

    La fonction f(x) = 2x² + 3 x - 4 est continue sur ensemble des réels.

    En effet : La fonction f est la somme de la fonction carré f(x) = x² que l'on multiplie par 2 et de la fonction f(x) = x multiplié par 3, ainsi que de la fonction constante f(x) = -4.
    Or, ces trois fonctions sont continues sur ensemble des réels.
    Donc la fonction f(x) = 2x² + 3x - 4 est continue sur ensemble des réels.

    Voici un des grands théorèmes de Terminale. C'est absolument sûr que vous aurez une question en rapport à l'épreuve de Juin prochain.

    Théorème

    Théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [a, b].
    Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une unique solution dans [a, b].

    théorème des valeurs intermédiaires

    Attention, il faut absolument une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a, b]. Qu'es-ce que cela veut dire ? Cela veut dire que la fonction est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur [a, b] et que sur cet intervalle, on peut tracer la fonction f sans levé le crayon.
    Dans ces conditions là, pour tous les réel k compris dans l'intervalle [f(a), f(b)], image de l'intervalle [a, b], alors ce k admet un unique antécédent. La fonction passe obligatoirement une fois et une seule fois par ce k.

    Regarder bien la figure précédente.
    On a pris un intervalle [a, b] et l'intervalle [f(a), f(b)] qui n'est rien d'autre que l'image de l'intervalle [a, b].
    La fonction représentée est continue et strictement monotone, en l'occurrence croissante ici.
    On voit très bien que n'importe quel k compris entre f(a) et f(b) admet un antécédent par la fonction f. Vous n'avez qu'à essayer. Prenez un autre k dans l'intervalle [f(a), f(b)]. Il aura toujours un et un seul antécédent par f.

    Je vais vous donner une exemple important. C'est exactement ce qu'on vous demandera de faire le jour J.

    Exemple

    Soit f la fonction continue définie sur [-3; 7].
    On donne le tableau de variation de la fonction f ci-dessous.

    tableau de variations d'une fonction continue


    Combien de solution admet l'équation f(x) = 0 ?

    • Premièrement, f est continue sur [-3; 7], comme ça on l'a dit.

    • On cherche f(x)=0, donc on va chercher dans la ligne du bas du tableau de variation.

    • Or, 0 ∈ [-3; 7] (attention à l'ordre des nombres dans un intervalle, le plus petit d'abord). Cela correspond à l'intervalle de x [-3; 1].
    • La fonction f est strictement décroissante sur [-3, 1].
    • On a toutes les condition. Appliquons le théorème des valeurs intermédiaires : L'équation f(x) = 0 admet une unique solution sur l'intervalle [-3; 1].
      Mais la question est posée sur l'intervalle [-3; 7]. Il faut donc vérifié si l'équation admet une autre solution dans l'intervalle restant, soit [1; 7].
      Regardons. Non, f(x) ne passe plus par 0. En effet, elle part de -3 jusque -1, puis de -1 à -2. Donc sans passé par 0.

    • Conclusion : L'équation f(x) = 0 admet une uniquement solution sur [-3; 7].

  • 2. Limite d'une fonction en un point a

    Après la continuité, les limites.

    Définition

    Limite d'une fonction en un point On dit que f tend vers L quand x tend vers a si la distance de f(x) à L peut être rendu aussi petite que l'on veut dés lors que x est suffisamment proche de a.
    Ceci se note :
    limite d'une fonction


    définition de la limite

    Je ne vois pas du tout, mais alors pas du tout, ce que vous voulez dire.
    Prenons une fonction f définie sur ensemble des réels par f(x) = x + 3.
    On va faire tendre x vers 0.
    Lorsque l'on fait tendre x vers 0, la fonction f, c'est-à-dire f(x) (ou x + 3 si vous voulez), va tendre vers... vers... 3.
    Ceci se note :

    exemple de limite d'une fonction


    C'est comme si on remplaçait x par 0 en fait, non ?

    Oui, c'est presque ça. Sauf que x ne vaut pas 0, il tend vers 0.


    Voici la liste des limites que vous devez connaîtrais par coeur.

    Propriétés

    Propriétés des limites de fonctions propriétés des limites

    Quand on note 0+ c'est que l'on prend les nombres très proches de zéros mais positifs.
    Et quand on note 0- c'est que l'on prend les nombres très proches de zéros mais négatifs.

  • 3. Opérations sur les limites de fonctions

    Dans cette section, a désigne soit un nombre réel, soit +∞, soit -∞ et L et L' sont des réels.
    Les exemples sont en faire de section.

    Propriétés

    Somme des limites
    somme des limites

    Remarque

    Comme vous pouvez le constater, on ne sait pas faire ∞ - ∞. C'est une limite indéterminée. Ne vous avisez surtout pas à donner une valeur à cette limite n'en a pas !

    Propriétés

    Produit des limites
    produit des limites

    Propriétés

    Quotient d'une limite
    quotient d'une limite

    Propriétés

    Quotient des limites Pour déterminer la limite de , il suffit de déterminer la limite de puis de déterminer la limite du produit de f par .

    quotient des limites

  • 4. Fraction rationnelle polynomiale au voisinage de l'infini

    Quand on a affaire avec des fonctions polynômes, l'étude de limite en l'infini est très simplifiée grâce à ce théorème.

    Propriétés

    Fraction rationnelle polynomiale au voisinage de l'infini Soit P un polynôme.
    • La limite de ce polynôme P en +∞ ou -∞ est égale à la limite de son terme de plus haut degré.

    • La limite d'une fonction rationnelle dont le numérateur et le dénominateur sont des fonction polynômes en +∞ ou -∞ est égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré.

    Remarque importante

    Attention, je précise bien, ces propriétés ne sont valables que qui on étudie la limite en +∞ ou -∞.

    Exemple 1

    Soit le polynôme P(x) = -x5 + 3x4 + x³ - 5x + 2.
    Sa limite en +∞ est celle de son terme de plus haut degré, c'est-à-dire c'est la limite de -x5 et :

    fraction rationnelle polynomiale au voisinage de l'infini


    Donc, la limite de P en +∞ est -∞.

    Exemple 2

    On demande de calculer la limite en +∞ de .
    Facile. On prend les termes de plus haut degré du haut et du bas : .
    Donc :

    fraction rationnelle polynomiale

    Exemple 3

    Calculer la limite en +∞ de (3x³ - x² + 2x - 4)(-2x² - 2).
    Or,

    limite d'une fraction rationnelle polynomiale


    Calculons donc séparément les deux limites puis nous effectuerons leur produit.

    limite d'une fraction


    Le produit de +∞ et de -∞ est -∞.
    Conclusion :

    limite d'un polynôme

  • 5. Limite d'une fonction composée

    Je vous défini une nouvelle notion : la composition de fonctions.

    Définition

    Composition de fonctions Soient f une fonction définie sur I et g(x) une fonction définie sur f(I).
    La fonction (on dit "g rond f")est la fonction définie aussi sur le domaine I par :

    définition limite d'une fonction composée

    En fait, on remplace la variable de la fonction g par la fonction f.

    Exemple

    Soient deux fonctions f(x) = x + 1 et g(x) = 3x - 2x + 1.
    Si on veut :

    limite d'une fonction composée


    Vous avez saisie l'idée ?
    Je vous laisse terminer le calcul.

    Théorème

    Limite d'une fonction composée Soient f une fonction définie sur I, g une fonction définie sur f(I), a un élément de I (borne comprise), L et L' deux réels ou ±∞.
    Si :

    théorème limite d'une fonction composée


    Alors :

    théorème sur les limites

    On a une première fonction f qui tend vers L lorsque sa variable x tend vers a.
    Puis une seconde fonction g qui tend vers L' lorsque sa variable X tend vers L, la limite de la première fonction f.
    Alors, la composée de ces deux fonction tend vers L', limite de la seconde fonction g.

    C'est quelque chose d'important. C'est pourquoi je vous donne quatre exemples différents, de difficulté progressive.

    Exemple 1

    Déterminer la limite en +∞ de la fonction .

    C'est la fonction g(x) = x³ - 2x² + 5x + 3 composée avec la fonction racine .
    Calculons la limite de g.

    exemple de limite de fonction composée


    Calculons aussi la limite de h quand x tend vers la limite de g soit +∞.

    exemple de limite


    C'est facile en fait. On fait tendre l'intérieur de la racine vers l'infini. Le résultat est l'infini. Puis on regarde la limite de la racine de l'infini. Ce qui nous donne ...

    cours sur les limites

    Exemple 2

    Un peu plus difficile. Calculer la limite suivante :



    On bien que 2 est la valeur interdite de cette fraction car : -2² + 5 × 2 - 6 = 0.
    On a aussi la valeur 3 comme valeur interdite mais ne nous en préoccupons pas ici, on cherche la limite en 2, pas en 3.
    Nous allons devoir étudier cette limite au voisinage de 2, c'est-à-dire autour de 2. On l'étudiera en (très proche de 2 mais toujours inférieur) et en (très proche de 2 mais toujours supérieur).
    Nous allons donc avoir besoin du signe de la quantité -x² + 5x - 6 pour un x tendant vers et pour un x tendant vers . Dressons-le.

    exemple limite fonction composée


    On voit bien donc que le polynôme -x² + 5x - 6 est négatif avant 2 et positif après. Autrement dit, en , le polynôme -x² + 5x - 6 est négatif et en il est positif. On a ce qu'on voulait !
    Calculons maintenant les limites :



    On va faire le quotient de ce polynôme.
    Or, en , le polynôme -x² + 5x - 6 est négatif, donc son quotient va tendre vers -∞ et en il est positif, son quotient va tendre vers +∞.



    N'oublions pas la limite du numérateur.

    exemple fonction composée


    En fait, vu que 2 n'est pas une valeur interdite pour le numérateur, on a :

    fonction composée


    Cette limite est négative. Quand on fait le quotient des deux limites, on trouvera donc :



    Fiou ! On a terminé. Vous voyez bien que la limites diffère en fonction de la position de x : en elle vaut +∞ et en elle vaut -∞.

  • 6. Encadrement de fonctions

    Encore un théorème sur les limites de fonctions à connaître.

    Théorème

    Théorème de l'encadrement de fonctions et limites Soient b un réel, u et v deux fonctions telles que :

    théorème d'encadrement de fonctions


    Si, pour tout x ∈ ]b, +∞[, u(x)f(x) - Lv(x), alors :

    encadrement de fonctions

    Si on arrive à encadrer la différence d'une fonction f et d'un nombre L par deux fonction qui tendent vers 0 quand x tend vers +∞, alors la limite en +∞ de la fonction f est ce nombre L.

    Pour gagner du temps, je ne vous donne pas d'exemple précis d'application de ce théorème. Mais aillez-le en tête.

  • 7. Comparaison de fonctions au voisinage de l'infini

    Deux théorèmes très pratiques basés sur la majoration et la minoration.

    Théorème

    Théorème de minoration Soient b un réel, f et g deux fonctions.
    Si, pour tout x ∈ ]b, +&infin[,

    théorème de minoration


    Alors :

    théorème de minoration

    Théorème

    Théorème de majoration Soient b un réel, f et g deux fonctions.
    Si, pour tout x ∈ ]b, +∞[,

    théorème de majoration


    Alors :
    théorème de majoration

    Si f est majorée par une fonction g, c'est-à-dire que f(x)g(x) et si la limite de la fonction g est -∞, alors la limite de f est plus petite que la limite de g, et plus petit que -∞ c'est forcément toujours -∞.
    Pareil pour la minoration.

    Exemple

    On sait que pour tout x strictement positif : .
    Or,

    exemple théorème de minoration


    On en déduit, d'après le théorème de minoration, que :

    exemple théorème de majoration

Donnez votre avis sur ce cours.




Abdelchouki

Abdelchouki il y a 5 jours.

Aucun commentaire et merci pour le cours

Continuité et limite : 3/5 - 30 avis.