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Fraction rationnelle polynomiale au voisinage de l'infini
Cours terminale ES

Il y a une méthode pour déterminer la limite d'une fraction rationnelle polynomiale au voisinage de l'infini. C'est dans ce cours de maths que vous aller l'apprendre.

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Quand on a affaire avec des fonctions polynômes, l'étude de limite en l'infini est très simplifiée grâce à ce théorème.

Propriétés

Fraction rationnelle polynomiale au voisinage de l'infini

Soit P un polynôme.
  • La limite de ce polynôme P en +∞ ou -∞ est égale à la limite de son terme de plus haut degré.

  • La limite d'une fonction rationnelle dont le numérateur et le dénominateur sont des fonction polynômes en +∞ ou -∞ est égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré.

Remarque importante

Attention, je précise bien, ces propriétés ne sont valables que qui on étudie la limite en +∞ ou -∞.

Exemple 1

Soit le polynôme P(x) = -x5 + 3x4 + x³ - 5x + 2.
Sa limite en +∞ est celle de son terme de plus haut degré, c'est-à-dire c'est la limite de -x5 et :

fraction rationnelle polynomiale au voisinage de l'infini


Donc, la limite de P en +∞ est -∞.

Exemple 2

On demande de calculer la limite en +∞ de .
Facile. On prend les termes de plus haut degré du haut et du bas : .
Donc :

fraction rationnelle polynomiale

Exemple 3

Calculer la limite en +∞ de (3x³ - x² + 2x - 4)(-2x² - 2).
Or,

limite d'une fraction rationnelle polynomiale


Calculons donc séparément les deux limites puis nous effectuerons leur produit.

limite d'une fraction


Le produit de +∞ et de -∞ est -∞.
Conclusion :

limite d'un polynôme

Fraction rationnelle polynomiale au voisinage de l'infini : 4/5 (1 avis)
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