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Théorèmes de comparaison
Cours première S

Un cours de maths fondamental en 1ère S : les théorèmes de comparaison. Il y en a deux à connaître et à comprendre : le théorème des gendarmes et les critères de divergence.

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Nous allons attaquer les théorèmes de comparaison qui vont nous aider à montrer la convergence ou la divergence d'une suite.
Cette partie est très importante, concentrez-vous bien.
Dans les théorèmes que je vais vous énoncer, il y a beaucoup de conditions pré-requises. Si une d'entre elles manquent, le théorème ne peut être appliqué.

1 - Théorème des gendarmes

On débute par le critère de comparaison, appelé le théorème des gendarmes, vous comprendrez pourquoi.

Théorème

Théorème des gendarmes

Soient un, vn et wn trois suites numériques telles que un et wn convergent vers L.
Si unvnwn à partir d'un certain rang, alors la suite vn converge vers L.

Une conséquente immédiate de ce résultat est le suivant :

Théorème

Convergence et théorème des gendarmes

Si à partir d'un certain rang on a |un - L| ≤ vn avec , alors la suite un converge vers L.

Je vais vous appliquer ce théorème très puissant sur un exemple afin que vous saisissiez absolument tout.

Exemple

La limite de limite de suite est 0.
En effet : on sait que :

critère de compaison


C'est la propriété fondamentale de trigonométrie. Si par malheur vous ne la connaissiez pas, je vous aurais arraché la tête ! Continuons...
On va diviser par n tous les membres de l'inégalité.

théorème des gendarmes


On a donc trois suites : exemple de théorème des gendarmes.
Or,

convergence de suite


On a toutes les conditions pour appliquer le théorème des gendarme.
Conclusion, la suite théorème des gendarmes converge vers 0.

2 - Critère de divergence

La divergence à présent.

Théorème

Critère de divergence

Soient un et vn deux suites numériques telles que unvn à partir d'un certain rang.

critère de divergence

Cela se comprend assez bien.
Si la limite de la suite un est +∞ et que la suite vn est plus grande que la suite un, alors la limite de vn sera plus grande que celle de un. Plus grand que +∞ cela ne peut être que +∞.
Si la limite de la suite vn est -∞ et que la suite un est plus petite que la suite vn, alors la limite de un sera plus petite que celle de vn. Plus petit que -∞ cela ne peut être que -∞.

Exemple

La suite un = (3 + (-1)n)n² diverge vers +∞.
En effet, on a :

3 + (-1)n ≥ 2


On multiple l'inégalité par n² (positif, donc ne change aucun signe),

(3 + (-1)n)n² ≥ 2n²


Or :

limite de suite numérique


Donc :

limite de suites

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