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Analyse combinatoire
Cours première S

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Cette partie va peut-être vous faire un peut peur mais ne vous inquiétez pas, je vais tout vous expliquer. Ce ne sont que des nouvelles choses, qui deviendront des évidences pour vous ensuite.

Combinaisons et coefficients binomiaux

Voici les définitions de combinaisons et de coefficient binomial.

Définitions

Combinaisons et coefficients binomiaux

Soient un ensemble E de cardinal n (toujours naturel) et p un entier naturel inférieur ou égal à n.

Le nombre de parties de E possédant p éléments, appelées combinaisons de p éléments, est égal au coefficient binomial noté :

coefficients binomiaux

Mais qu'es-ce que c'est que ce truc ?

J'y viens dans les propriétés suivantes. Mais d'abord je vous rappelle comment se calcule un coefficient binomial.

coefficients binomiaux = n!
k!(n - k)!

Second rappel :

n! = 1 × 2 × 3 × ... × n

Exemple

exemple calcul coefficients binomiaux

Définitions

Propriétés et formules des coefficients binomiaux

Soient n un entier naturel non nul et p un entier naturel inférieur ou égal à n. On a alors les propriétés suivantes :

Propriétés et formules des coefficients binomiaux

Triangle de Pascal

Voilà une partie interessante, vous allez aimer. Mais avant, une petite propriété, que vous n'allez pas aimer.

Définitions

Formule de Pascal

Soient n un entier naturel non nul et p un entier naturel strictement inférieur à n.

Formule de Pascal

De cette formule qui paraît compliquée, on construit le triangle de Pascal :

n / p 0 1 2 3 4 ...
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
... ... ... ... ... ... ...

En fait, comment on remplie ce tableau, c'est très simple. Chaque case est l'addition de celle au dessus et celle à sa diagonale de gauche. Par exemple, on obtient 6 en faisant 3 + 3. Ou encore 4 en faisant 3 + 1.

Et à quoi sert ce triangle de Pascal au juste ?

A vous aider à calculer des coefficients binomiaux ! En effet, chaque case représente le coefficient binomial suivant :

coefficients binomiaux

Ainsi, dans ce triangle, on a les valeurs suivantes :

coefficients binomiaux et triangle de pascal
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