Toutes les propriétés des suites numériques sont dans ce cours de maths de terminale S : variations, extremum et les théorèmes des suites, croissance et convergence (très important).
1 - Variations d'une suite numérique
Comme les fonctions, les suites ont des variations.
Définitions
Variations d'une suite
Soit un une suite numérique.- La suite (un) est dite croissante si :
∀ n ∈ 
, un ≤ un + 1 - La suite (un) est dite strictement croissante si :
∀ n ∈ , un < un + 1 - La suite (un) est dite décroissante si :
∀ n ∈ , un ≥ un + 1 - La suite (un) est dite strictement décroissante si :
∀ n ∈ , un > un + 1 - La suite (un) est dite stationnaire si :
∀ n ∈ , un = un + 1
Le symbole ∀ signifie "pour tout".
Remarque
Point méthode : Pour déterminer les variations d'une suite numérique, on calcule la quantité un + 1 - un,
- Si un + 1 - un ≥ 0, la suite (un) est croissante,
- Si un + 1 - un > 0, la suite (un) est strictement croissante,
- Si un + 1 - un ≤ 0, la suite (un) est décroissante,
- Si un + 1 - un < 0, la suite (un) est strictement décroissante,
- Si un + 1 - un = 0, la suite (un) est stationnaire.
Exemple
En effet :
Car n est un naturel.
Donc la suite un est croissante.
Remarque
2 - Extremum d'une suite numérique
Qui dit variations, dit extremum.
Définitions
Extremum d'une suite numérique
Soit un une suite numérique.- La suite (un) est majorée si :
∃ M ∈ 
/ ∀ n ∈ , un ≤ M
M est appelé le majorant. - La suite (un) est minorée si :
∃ m ∈ / ∀ n ∈ , un ≥ m
m est appelé le minorant. - Une suite qui est à la fois majorée et minorée est dite bornée.
Le symbole ∃ signifie "il existe" et le symbole / signifie "tel que".
Les notions de majoration et de minoration pour les suites numériques sont les mêmes qui pour les fonctions.
3 - Théorèmes des suites - Croissance et convergence
Quand on mêle variation et extrema, cela donne ça.
Théorèmes
Théorèmes des suites - Croissance et convergence
Trois théorèmes.- Toute suite croissante et majorée converge.
- Toute suite décroissante et minorée converge.
- Soit un une suite définie par un + 1 = f(un).
Alors, si un converge vers la limite l et si f est continue, alors l est solution de l'équation l = f(l).
Les deux premiers théorèmes se comprennent très bien.
Le premier par exemple. Prenez une suite qui croît mais qui est majorée. A un moment, en va s'écraser sur sa borne supérieur (son majorant). C'est obligatoire. Elle va donc converger.
Tant au troisième théorème. Si la suite un converge vers un réel l, alors forcément, au bout d'un certain temps, le un + 1 ainsi que le un vont valoir l. C'est-à-dire que l'on aura f(un = l) = f(l) = un + 1 = l.