Suites numériques

Montrer qu'une suite est bornée
Cours terminale S

Dans ce cours méthode, je vais vous montrer comment montrer qu'une suite numérique est bornée, étape par étape, en montrant tout d'abord qu'elle est majorée puis qu'elle est également minorée.

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Soit la suite numérique un définie ∀ n ∈ N par :

un = n + 3
3n + 5

Le but de cette exercice va être de prouver que la suite un est bornée.

Rappel de la définition d'une suite bornée

Je vous rappelle qu'une suite est bornée si et seulement si elle est majorée et minorée, c'est-à-dire qu'elle admet un maximum et un minimum.

Du coup, il va falloir prouver que la suite un de l'énonce est majorée, puis montrer qu'elle est aussi minorée. Si c'est bien le cas, alors nous pourrons conclure que cette suite est bornée.

Montrer que la suite est majorée

Reprenons notre suite :

n ∈ N, un = n + 3
3n + 5

On remarque facilement que le numérateur est inférieur au dénominateur :

n ∈ N, n + 3 < 3n + 5


Et que les deux sont positifs :

n ∈ N, n + 3 > 0 et 3n + 5 > 0

Du coup :

n ∈ N, un < 1

La suite un est donc majorée par 1.

Montrer que la suite est minorée

Prouvons maintenant que la suite un est minorée. Comme pour la majoration, nous n'avons pas non plus le minorant donné dans l'énoncé. Nous allons devoir le trouver. C'est-à-dire trouver un nombre au dessus duquel la suite est toujours située.

Si on reprend ce qu'on a dit précédemment :

n ∈ N, n + 3 > 0 et 3n + 5 > 0

Le numérateur et le dénominateur de la fraction de la suite un sont positif, donc la suite un est positive, soit :

n ∈ N, un > 0

La suite un est ainsi minorée par 0.

Conclusion : la suite est bornée

On sait qu'une suite qui est à la fois majorée et minorée est bornée.
Or, la suite un est majorée (par 1) et minorée (par 0) . Donc, elle est bornée.

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