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Suite géométrique
Cours terminale S

Un cours sur les suites géométriques en terminale S : définitions, propriétés, somme des termes, tout y est. Avec bien sûr, des exemples d'applications.

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Une autre catégorie de suite à présent, les suites dites géométriques.

Définition

Suite géométrique

On appelle suite géométrique de premier terme u0 et de raison q la suite définie par :

définition suite géométrique

Puis-je avoir une définition concrète pour cette catégorie de suite aussi s'il-vous-plaît ?

Si c'est demander si poliment.

Exemple

Soit la suite numérique un définie par :

etude d'une suite géométrique


Cette suite est une suite géométrique de raison 2.
Si l'on calcule les cinq premiers termes de cette suite,

u0 = 4
u1 = 2 × u0 = 2 × 4 = 8
u2 = 2 × u1 = 2 × 8 = 16
u3 = 2 × u2 = 2 × 16 = 32
u4 = 2 × u3 = 2 × 32 = 64

Que remarquez-vous ici ?
Le quotient de deux termes consécutifs est constant et égal à la raison 2. On multiplie de 2 à chaque un suivant.

Il existe aussi des propriétés pour calculer le 1000ème terme sans passer par les 1000 premiers.

Propriétés

Propriétés des suites géométriques

  • Si u est une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q, alors :

    un = u0 qn

  • Si u est une suite géométrique, alors pour tout np,

    un = up qn - p

Exemple

Dans l'exemple précédent, en utilisant la première formule, vous pouvez trouver le u4 par exemple :

u4 = u0 × 24 = 4 × 16 = 64


Ou en utilisant la deuxième :

u4 = u2 × 24 - 2 = 16 × 2² = 16 × 4 = 64

Il y a également une formule pour calculer la somme de tous les termes d'une suite géométrique. La voici.

Propriété

Somme des termes d'une suite géométrique

Soit u une suite géométrique.
La somme des termes de cette suite est donnée par :

somme d'une suite géométrique

Vous pouvez aussi réutilisez directement cette formule. Mais il faut que vous la compreniez aussi bien que la précédente pour les suites arithmétiques.

Exemple

Soit la suite numérique un définie par :

exemple de somme d'une suite géométrique


Cette suite est géométrique de raison 1/3.
Calculons la somme des 100 premiers termes de cette suite.

calcul d'une somme d'une suite géométrique


La quantité est tellement réduite que 51.
On peux vous demander de calculer la somme de tous les termes de la suite un en fonction de n. C'est pareil, sauf qu'on laisse le n tel quel.

Remarque

On peut vous demander de montrer qu'une suite vn définie en fonction d'une autre suite (un) est géométrique.
Dans ce cas, Il suffit de montrer qu'il existe qensemble des réels* tel que vn + 1 = qvn.

Je vais vous donner un exemple pour vous montrer les directives à suivre.

Exemple

Soit la suite numérique un définie par :

exemple suite géométrique


Nous allons montrer que la suite vn = un - 3 est géométrique.
Il suffit donc de montrer qu'il existe qensemble des réels* tel que vn + 1 = qvn.
On part toujours de vn + 1,

vn + 1 = un + 1 - 3 = 2un - 3 - 3 = 2un - 6


On a utilisé la formule vn + 1 = un + 1 - 1 et remplacé les n par des n + 1.

vn = un - 1


Or :

vn = un - 3 ⇔ un = vn + 3


Donc :

vn + 1 = 2un - 6 = 2(vn + 3) - 6 = 2vn + 6 - 6 = 2vn


Conclusion : vn est une suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme :

v0 = u0 - 3 = 1 - 3 = -2


On peut alors écrire la chose suivante :

vn = (-2) × 2n

Suite géométrique : 3/5 (2 avis)
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